Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50140 / 48428
↖ ↑ ↗
← S 64.876938°
E 95.427246°		 ← 259.32 m → S 64.876938°
E 95.432739°		 →
↑
259.30 m
↓
↑
259.30 m
↓
S 64.879270°
E 95.427246°		 ← 259.30 m →
67 238 m²		 S 64.879270°
E 95.432739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765083312988281 y=0.738960266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765083312988281 × 216)
    floor (0.765083312988281 × 65536)
    floor (50140.5)     		tx = 50140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738960266113281 × 216)
    floor (0.738960266113281 × 65536)
    floor (48428.5)     		ty = 48428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50140 / 48428 ti = "16/50140/48428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50140/48428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50140 ÷ 216
    50140 ÷ 65536     		x = 0.76507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48428 ÷ 216
    48428 ÷ 65536     		y = 0.73895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76507568359375 × 2 - 1) × π
    0.5301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66551964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73895263671875 × 2 - 1) × π
    -0.4779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50138369610016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66551964} λ = 1.66551964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50138369610016))-π/2
    2×atan(0.222821629321682)-π/2
    2×0.219240073023345-π/2
    0.438480146046689-1.57079632675     		φ = -1.13231618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66551964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13231618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.876938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50140 KachelY 48428 1.66551964 -1.13231618 95.427246 -64.876938
    Oben rechts KachelX + 1 50141 KachelY 48428 1.66561551 -1.13231618 95.432739 -64.876938
    Unten links KachelX 50140 KachelY + 1 48429 1.66551964 -1.13235688 95.427246 -64.879270
    Unten rechts KachelX + 1 50141 KachelY + 1 48429 1.66561551 -1.13235688 95.432739 -64.879270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13231618--1.13235688) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dl = 259.299700000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13231618--1.13235688) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dr = 259.299700000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66551964-1.66561551) × cos(-1.13231618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42456388393009 × 6371000     		do = 259.318427888193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66551964-1.66561551) × cos(-1.13235688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424527033880531 × 6371000     		du = 259.295920328598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13231618)-sin(-1.13235688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42456388393009-0.424527033880531)×R²
    abs(1.66561551-1.66551964)×3.68500495597779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68500495597779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68500495597779e-05×40589641000000     		ar = 67238.2724632435m²