Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5014 / 5155
↖ ↑ ↗
← S 42.130821°
E 40.341797°		 ← 3 623.90 m → S 42.130821°
E 40.385742°		 →
↑
3 622.93 m
↓
↑
3 622.93 m
↓
S 42.163403°
E 40.341797°		 ← 3 622.03 m →
13 125 759 m²		 S 42.163403°
E 40.385742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61212158203125 y=0.62933349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61212158203125 × 213)
    floor (0.61212158203125 × 8192)
    floor (5014.5)     		tx = 5014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62933349609375 × 213)
    floor (0.62933349609375 × 8192)
    floor (5155.5)     		ty = 5155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5014 / 5155 ti = "13/5014/5155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5014/5155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5014 ÷ 213
    5014 ÷ 8192     		x = 0.612060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5155 ÷ 213
    5155 ÷ 8192     		y = 0.6292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612060546875 × 2 - 1) × π
    0.22412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70409718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6292724609375 × 2 - 1) × π
    -0.258544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.812242827162232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70409718} λ = 0.70409718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812242827162232))-π/2
    2×atan(0.443861444511574)-π/2
    2×0.417737389262401-π/2
    0.835474778524802-1.57079632675     		φ = -0.73532155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70409718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.341797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73532155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.130821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5014 KachelY 5155 0.70409718 -0.73532155 40.341797 -42.130821
    Oben rechts KachelX + 1 5015 KachelY 5155 0.70486417 -0.73532155 40.385742 -42.130821
    Unten links KachelX 5014 KachelY + 1 5156 0.70409718 -0.73589021 40.341797 -42.163403
    Unten rechts KachelX + 1 5015 KachelY + 1 5156 0.70486417 -0.73589021 40.385742 -42.163403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73532155--0.73589021) × R
    0.000568659999999999 × 6371000     		dl = 3622.93285999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73532155--0.73589021) × R
    0.000568659999999999 × 6371000     		dr = 3622.93285999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70409718-0.70486417) × cos(-0.73532155) × R
    0.000766990000000023 × 0.741615087755575 × 6371000     		do = 3623.89715008049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70409718-0.70486417) × cos(-0.73589021) × R
    0.000766990000000023 × 0.741233496148639 × 6371000     		du = 3622.03250525367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73532155)-sin(-0.73589021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741615087755575-0.741233496148639)×R²
    abs(0.70486417-0.70409718)×0.000381591606936071×R²
    0.000766990000000023×0.000381591606936071×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381591606936071×40589641000000     		ar = 13125758.6784893m²