Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5014 / 1179
↖ ↑ ↗
← N 77.814050°
E 40.341797°		 ← 1 031.47 m → N 77.814050°
E 40.385742°		 →
↑
1 031.85 m
↓
↑
1 031.85 m
↓
N 77.804771°
E 40.341797°		 ← 1 032.24 m →
1 064 714 m²		 N 77.804771°
E 40.385742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61212158203125 y=0.14398193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61212158203125 × 213)
    floor (0.61212158203125 × 8192)
    floor (5014.5)     		tx = 5014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14398193359375 × 213)
    floor (0.14398193359375 × 8192)
    floor (1179.5)     		ty = 1179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5014 / 1179 ti = "13/5014/1179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5014/1179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5014 ÷ 213
    5014 ÷ 8192     		x = 0.612060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1179 ÷ 213
    1179 ÷ 8192     		y = 0.1439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612060546875 × 2 - 1) × π
    0.22412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70409718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1439208984375 × 2 - 1) × π
    0.712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23731097906726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70409718} λ = 0.70409718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23731097906726))-π/2
    2×atan(9.36810635337034)-π/2
    2×1.46445385546886-π/2
    2.92890771093772-1.57079632675     		φ = 1.35811138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70409718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.341797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35811138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.814050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5014 KachelY 1179 0.70409718 1.35811138 40.341797 77.814050
    Oben rechts KachelX + 1 5015 KachelY 1179 0.70486417 1.35811138 40.385742 77.814050
    Unten links KachelX 5014 KachelY + 1 1180 0.70409718 1.35794942 40.341797 77.804771
    Unten rechts KachelX + 1 5015 KachelY + 1 1180 0.70486417 1.35794942 40.385742 77.804771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35811138-1.35794942) × R
    0.000161960000000017 × 6371000     		dl = 1031.84716000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35811138-1.35794942) × R
    0.000161960000000017 × 6371000     		dr = 1031.84716000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70409718-0.70486417) × cos(1.35811138) × R
    0.000766990000000023 × 0.211085106273904 × 6371000     		do = 1031.4659554264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70409718-0.70486417) × cos(1.35794942) × R
    0.000766990000000023 × 0.211243414171206 × 6371000     		du = 1032.23952590432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35811138)-sin(1.35794942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211085106273904-0.211243414171206)×R²
    abs(0.70486417-0.70409718)×0.000158307897302284×R²
    0.000766990000000023×0.000158307897302284×6371000²
    0.000766990000000023×0.000158307897302284×40589641000000     		ar = 1064714.32232112m²