Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50139 / 48429
↖ ↑ ↗
← S 64.879270°
E 95.421753°		 ← 259.30 m → S 64.879270°
E 95.427246°		 →
↑
259.30 m
↓
↑
259.30 m
↓
S 64.881602°
E 95.421753°		 ← 259.27 m →
67 232 m²		 S 64.881602°
E 95.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765068054199219 y=0.738975524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765068054199219 × 216)
    floor (0.765068054199219 × 65536)
    floor (50139.5)     		tx = 50139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738975524902344 × 216)
    floor (0.738975524902344 × 65536)
    floor (48429.5)     		ty = 48429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50139 / 48429 ti = "16/50139/48429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50139/48429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50139 ÷ 216
    50139 ÷ 65536     		x = 0.765060424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48429 ÷ 216
    48429 ÷ 65536     		y = 0.738967895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765060424804688 × 2 - 1) × π
    0.530120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66542377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738967895507812 × 2 - 1) × π
    -0.477935791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5014795698994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66542377} λ = 1.66542377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5014795698994))-π/2
    2×atan(0.222800267589558)-π/2
    2×0.2192197216304-π/2
    0.4384394432608-1.57079632675     		φ = -1.13235688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66542377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.421753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13235688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.879270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50139 KachelY 48429 1.66542377 -1.13235688 95.421753 -64.879270
    Oben rechts KachelX + 1 50140 KachelY 48429 1.66551964 -1.13235688 95.427246 -64.879270
    Unten links KachelX 50139 KachelY + 1 48430 1.66542377 -1.13239758 95.421753 -64.881602
    Unten rechts KachelX + 1 50140 KachelY + 1 48430 1.66551964 -1.13239758 95.427246 -64.881602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13235688--1.13239758) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dl = 259.299700000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13235688--1.13239758) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dr = 259.299700000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66542377-1.66551964) × cos(-1.13235688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424527033880531 × 6371000     		do = 259.295920328598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66542377-1.66551964) × cos(-1.13239758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424490183127746 × 6371000     		du = 259.273412339482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13235688)-sin(-1.13239758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424527033880531-0.424490183127746)×R²
    abs(1.66551964-1.66542377)×3.68507527845341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68507527845341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68507527845341e-05×40589641000000     		ar = 67232.4362043099m²