Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50138 / 58190
↖ ↑ ↗
← N 19.771873°
W 42.291870°		 ← 287.42 m → N 19.771873°
W 42.289123°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.769288°
W 42.291870°		 ← 287.42 m →
82 604 m²		 N 19.769288°
W 42.289123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382526397705078 y=0.443958282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382526397705078 × 217)
    floor (0.382526397705078 × 131072)
    floor (50138.5)     		tx = 50138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443958282470703 × 217)
    floor (0.443958282470703 × 131072)
    floor (58190.5)     		ty = 58190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50138 / 58190 ti = "17/50138/58190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50138/58190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50138 ÷ 217
    50138 ÷ 131072     		x = 0.382522583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58190 ÷ 217
    58190 ÷ 131072     		y = 0.443954467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382522583007812 × 2 - 1) × π
    -0.234954833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73813238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443954467773438 × 2 - 1) × π
    0.112091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.352144464608933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73813238} λ = -0.73813238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352144464608933))-π/2
    2×atan(1.42211395401574)-π/2
    2×0.957940304618684-π/2
    1.91588060923737-1.57079632675     		φ = 0.34508428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73813238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.291870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34508428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.771873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50138 KachelY 58190 -0.73813238 0.34508428 -42.291870 19.771873
    Oben rechts KachelX + 1 50139 KachelY 58190 -0.73808444 0.34508428 -42.289123 19.771873
    Unten links KachelX 50138 KachelY + 1 58191 -0.73813238 0.34503917 -42.291870 19.769288
    Unten rechts KachelX + 1 50139 KachelY + 1 58191 -0.73808444 0.34503917 -42.289123 19.769288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34508428-0.34503917) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dl = 287.395810000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34508428-0.34503917) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dr = 287.395810000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73813238--0.73808444) × cos(0.34508428) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941046946048303 × 6371000     		do = 287.41995987202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73813238--0.73808444) × cos(0.34503917) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941062204720728 × 6371000     		du = 287.424620263337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34508428)-sin(0.34503917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941046946048303-0.941062204720728)×R²
    abs(-0.73808444--0.73813238)×1.52586724246895e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.52586724246895e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.52586724246895e-05×40589641000000     		ar = 82603.9618800894m²