Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50138 / 50999
↖ ↑ ↗
← S 70.242747°
E 95.416260°		 ← 206.49 m → S 70.242747°
E 95.421753°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
S 70.244603°
E 95.416260°		 ← 206.47 m →
42 622 m²		 S 70.244603°
E 95.421753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765052795410156 y=0.778190612792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765052795410156 × 216)
    floor (0.765052795410156 × 65536)
    floor (50138.5)     		tx = 50138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778190612792969 × 216)
    floor (0.778190612792969 × 65536)
    floor (50999.5)     		ty = 50999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50138 / 50999 ti = "16/50138/50999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50138/50999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50138 ÷ 216
    50138 ÷ 65536     		x = 0.765045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50999 ÷ 216
    50999 ÷ 65536     		y = 0.778182983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765045166015625 × 2 - 1) × π
    0.53009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66532789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778182983398438 × 2 - 1) × π
    -0.556365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74787523394649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66532789} λ = 1.66532789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74787523394649))-π/2
    2×atan(0.174143564967041)-π/2
    2×0.172414559697888-π/2
    0.344829119395775-1.57079632675     		φ = -1.22596721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66532789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22596721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.242747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50138 KachelY 50999 1.66532789 -1.22596721 95.416260 -70.242747
    Oben rechts KachelX + 1 50139 KachelY 50999 1.66542377 -1.22596721 95.421753 -70.242747
    Unten links KachelX 50138 KachelY + 1 51000 1.66532789 -1.22599961 95.416260 -70.244603
    Unten rechts KachelX + 1 50139 KachelY + 1 51000 1.66542377 -1.22599961 95.421753 -70.244603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22596721--1.22599961) × R
    3.23999999998215e-05 × 6371000     		dl = 206.420399998863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22596721--1.22599961) × R
    3.23999999998215e-05 × 6371000     		dr = 206.420399998863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66532789-1.66542377) × cos(-1.22596721) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.338035858321136 × 6371000     		do = 206.489704348879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66532789-1.66542377) × cos(-1.22599961) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.338005365427029 × 6371000     		du = 206.471077719384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22596721)-sin(-1.22599961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338035858321136-0.338005365427029)×R²
    abs(1.66542377-1.66532789)×3.04928941071148e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.04928941071148e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.04928941071148e-05×40589641000000     		ar = 42621.7649129466m²