Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50138 / 48431
↖ ↑ ↗
← S 64.883934°
E 95.416260°		 ← 259.28 m → S 64.883934°
E 95.421753°		 →
↑
259.24 m
↓
↑
259.24 m
↓
S 64.886265°
E 95.416260°		 ← 259.26 m →
67 211 m²		 S 64.886265°
E 95.421753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765052795410156 y=0.739006042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765052795410156 × 216)
    floor (0.765052795410156 × 65536)
    floor (50138.5)     		tx = 50138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739006042480469 × 216)
    floor (0.739006042480469 × 65536)
    floor (48431.5)     		ty = 48431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50138 / 48431 ti = "16/50138/48431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50138/48431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50138 ÷ 216
    50138 ÷ 65536     		x = 0.765045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48431 ÷ 216
    48431 ÷ 65536     		y = 0.738998413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765045166015625 × 2 - 1) × π
    0.53009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66532789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738998413085938 × 2 - 1) × π
    -0.477996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50167131749788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66532789} λ = 1.66532789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50167131749788))-π/2
    2×atan(0.222757550268909)-π/2
    2×0.219179024144005-π/2
    0.43835804828801-1.57079632675     		φ = -1.13243828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66532789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13243828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.883934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50138 KachelY 48431 1.66532789 -1.13243828 95.416260 -64.883934
    Oben rechts KachelX + 1 50139 KachelY 48431 1.66542377 -1.13243828 95.421753 -64.883934
    Unten links KachelX 50138 KachelY + 1 48432 1.66532789 -1.13247897 95.416260 -64.886265
    Unten rechts KachelX + 1 50139 KachelY + 1 48432 1.66542377 -1.13247897 95.421753 -64.886265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13243828--1.13247897) × R
    4.06900000000654e-05 × 6371000     		dl = 259.235990000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13243828--1.13247897) × R
    4.06900000000654e-05 × 6371000     		dr = 259.235990000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66532789-1.66542377) × cos(-1.13243828) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.424453331671798 × 6371000     		do = 259.277945843079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66532789-1.66542377) × cos(-1.13247897) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.424416488567418 × 6371000     		du = 259.25544017824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13243828)-sin(-1.13247897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424453331671798-0.424416488567418)×R²
    abs(1.66542377-1.66532789)×3.68431043801243e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.68431043801243e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.68431043801243e-05×40589641000000     		ar = 67211.2578457891m²