Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50137 / 51000
↖ ↑ ↗
← S 70.244603°
E 95.410767°		 ← 206.45 m → S 70.244603°
E 95.416260°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
S 70.246460°
E 95.410767°		 ← 206.43 m →
42 627 m²		 S 70.246460°
E 95.416260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765037536621094 y=0.778205871582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765037536621094 × 216)
    floor (0.765037536621094 × 65536)
    floor (50137.5)     		tx = 50137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778205871582031 × 216)
    floor (0.778205871582031 × 65536)
    floor (51000.5)     		ty = 51000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50137 / 51000 ti = "16/50137/51000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50137/51000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50137 ÷ 216
    50137 ÷ 65536     		x = 0.765029907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51000 ÷ 216
    51000 ÷ 65536     		y = 0.7781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765029907226562 × 2 - 1) × π
    0.530059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66523202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74797110774573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66523202} λ = 1.66523202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74797110774573))-π/2
    2×atan(0.174126869962173)-π/2
    2×0.172398356037804-π/2
    0.344796712075608-1.57079632675     		φ = -1.22599961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66523202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.410767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22599961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.244603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50137 KachelY 51000 1.66523202 -1.22599961 95.410767 -70.244603
    Oben rechts KachelX + 1 50138 KachelY 51000 1.66532789 -1.22599961 95.416260 -70.244603
    Unten links KachelX 50137 KachelY + 1 51001 1.66523202 -1.22603202 95.410767 -70.246460
    Unten rechts KachelX + 1 50138 KachelY + 1 51001 1.66532789 -1.22603202 95.416260 -70.246460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22599961--1.22603202) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22599961--1.22603202) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66523202-1.66532789) × cos(-1.22599961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338005365427029 × 6371000     		do = 206.449543397206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66523202-1.66532789) × cos(-1.22603202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337974862766546 × 6371000     		du = 206.43091274523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22599961)-sin(-1.22603202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338005365427029-0.337974862766546)×R²
    abs(1.66532789-1.66523202)×3.05026604831005e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05026604831005e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05026604831005e-05×40589641000000     		ar = 42626.6267652687m²