Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50134 / 48442
↖ ↑ ↗
← S 64.909569°
E 95.394287°		 ← 259 m → S 64.909569°
E 95.399780°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
S 64.911898°
E 95.394287°		 ← 258.98 m →
67 074 m²		 S 64.911898°
E 95.399780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764991760253906 y=0.739173889160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764991760253906 × 216)
    floor (0.764991760253906 × 65536)
    floor (50134.5)     		tx = 50134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739173889160156 × 216)
    floor (0.739173889160156 × 65536)
    floor (48442.5)     		ty = 48442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50134 / 48442 ti = "16/50134/48442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50134/48442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50134 ÷ 216
    50134 ÷ 65536     		x = 0.764984130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48442 ÷ 216
    48442 ÷ 65536     		y = 0.739166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764984130859375 × 2 - 1) × π
    0.52996826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66494440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.47833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50272592928952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66494440} λ = 1.66494440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50272592928952))-π/2
    2×atan(0.222522751362328)-π/2
    2×0.218955314233548-π/2
    0.437910628467096-1.57079632675     		φ = -1.13288570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66494440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.394287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13288570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.909569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50134 KachelY 48442 1.66494440 -1.13288570 95.394287 -64.909569
    Oben rechts KachelX + 1 50135 KachelY 48442 1.66504027 -1.13288570 95.399780 -64.909569
    Unten links KachelX 50134 KachelY + 1 48443 1.66494440 -1.13292635 95.394287 -64.911898
    Unten rechts KachelX + 1 50135 KachelY + 1 48443 1.66504027 -1.13292635 95.399780 -64.911898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13288570--1.13292635) × R
    4.06499999998644e-05 × 6371000     		dl = 258.981149999136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13288570--1.13292635) × R
    4.06499999998644e-05 × 6371000     		dr = 258.981149999136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66494440-1.66504027) × cos(-1.13288570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424048172844133 × 6371000     		do = 259.003437864037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66494440-1.66504027) × cos(-1.13292635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424011358242658 × 6371000     		du = 258.980951955698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13288570)-sin(-1.13292635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424048172844133-0.424011358242658)×R²
    abs(1.66504027-1.66494440)×3.68146014750326e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68146014750326e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68146014750326e-05×40589641000000     		ar = 67074.096487879m²