Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50134 / 48433
↖ ↑ ↗
← S 64.888597°
E 95.394287°		 ← 259.21 m → S 64.888597°
E 95.399780°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
S 64.890928°
E 95.394287°		 ← 259.18 m →
67 176 m²		 S 64.890928°
E 95.399780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764991760253906 y=0.739036560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764991760253906 × 216)
    floor (0.764991760253906 × 65536)
    floor (50134.5)     		tx = 50134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739036560058594 × 216)
    floor (0.739036560058594 × 65536)
    floor (48433.5)     		ty = 48433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50134 / 48433 ti = "16/50134/48433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50134/48433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50134 ÷ 216
    50134 ÷ 65536     		x = 0.764984130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48433 ÷ 216
    48433 ÷ 65536     		y = 0.739028930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764984130859375 × 2 - 1) × π
    0.52996826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66494440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739028930664062 × 2 - 1) × π
    -0.478057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50186306509636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66494440} λ = 1.66494440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50186306509636))-π/2
    2×atan(0.222714841138419)-π/2
    2×0.219138333722806-π/2
    0.438276667445613-1.57079632675     		φ = -1.13251966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66494440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.394287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13251966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.888597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50134 KachelY 48433 1.66494440 -1.13251966 95.394287 -64.888597
    Oben rechts KachelX + 1 50135 KachelY 48433 1.66504027 -1.13251966 95.399780 -64.888597
    Unten links KachelX 50134 KachelY + 1 48434 1.66494440 -1.13256034 95.394287 -64.890928
    Unten rechts KachelX + 1 50135 KachelY + 1 48434 1.66504027 -1.13256034 95.399780 -64.890928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13251966--1.13256034) × R
    4.06799999999041e-05 × 6371000     		dl = 259.172279999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13251966--1.13256034) × R
    4.06799999999041e-05 × 6371000     		dr = 259.172279999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66494440-1.66504027) × cos(-1.13251966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424379644760341 × 6371000     		do = 259.205896856555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66494440-1.66504027) × cos(-1.13256034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424342809305646 × 6371000     		du = 259.183398211325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13251966)-sin(-1.13256034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424379644760341-0.424342809305646)×R²
    abs(1.66504027-1.66494440)×3.68354546952943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68354546952943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68354546952943e-05×40589641000000     		ar = 67176.0677743026m²