Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50133 / 50956
↖ ↑ ↗
← S 70.162745°
E 95.388794°		 ← 207.29 m → S 70.162745°
E 95.394287°		 →
↑
207.31 m
↓
↑
207.31 m
↓
S 70.164610°
E 95.388794°		 ← 207.27 m →
42 972 m²		 S 70.164610°
E 95.394287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764976501464844 y=0.777534484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764976501464844 × 216)
    floor (0.764976501464844 × 65536)
    floor (50133.5)     		tx = 50133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777534484863281 × 216)
    floor (0.777534484863281 × 65536)
    floor (50956.5)     		ty = 50956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50133 / 50956 ti = "16/50133/50956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50133/50956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50133 ÷ 216
    50133 ÷ 65536     		x = 0.764968872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50956 ÷ 216
    50956 ÷ 65536     		y = 0.77752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764968872070312 × 2 - 1) × π
    0.529937744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66484852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.5550537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74375266057916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66484852} λ = 1.66484852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74375266057916))-π/2
    2×atan(0.174862966463902)-π/2
    2×0.173112701771808-π/2
    0.346225403543615-1.57079632675     		φ = -1.22457092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66484852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.388794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22457092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.162745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50133 KachelY 50956 1.66484852 -1.22457092 95.388794 -70.162745
    Oben rechts KachelX + 1 50134 KachelY 50956 1.66494440 -1.22457092 95.394287 -70.162745
    Unten links KachelX 50133 KachelY + 1 50957 1.66484852 -1.22460346 95.388794 -70.164610
    Unten rechts KachelX + 1 50134 KachelY + 1 50957 1.66494440 -1.22460346 95.394287 -70.164610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22457092--1.22460346) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000     		dl = 207.312340000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22457092--1.22460346) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000     		dr = 207.312340000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66484852-1.66494440) × cos(-1.22457092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.339349623291592 × 6371000     		do = 207.292219624976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66484852-1.66494440) × cos(-1.22460346) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.339319014025201 × 6371000     		du = 207.273521909299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22457092)-sin(-1.22460346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339349623291592-0.339319014025201)×R²
    abs(1.66494440-1.66484852)×3.06092663909241e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.06092663909241e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.06092663909241e-05×40589641000000     		ar = 42972.2969845226m²