Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50132 / 58124
↖ ↑ ↗
← N 19.942369°
W 42.308350°		 ← 287.11 m → N 19.942369°
W 42.305603°		 →
↑
287.08 m
↓
↑
287.08 m
↓
N 19.939787°
W 42.308350°		 ← 287.12 m →
82 424 m²		 N 19.939787°
W 42.305603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382480621337891 y=0.443454742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382480621337891 × 217)
    floor (0.382480621337891 × 131072)
    floor (50132.5)     		tx = 50132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443454742431641 × 217)
    floor (0.443454742431641 × 131072)
    floor (58124.5)     		ty = 58124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50132 / 58124 ti = "17/50132/58124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50132/58124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50132 ÷ 217
    50132 ÷ 131072     		x = 0.382476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58124 ÷ 217
    58124 ÷ 131072     		y = 0.443450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.23504638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73842000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443450927734375 × 2 - 1) × π
    0.11309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.355308299983856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73842000} λ = -0.73842000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355308299983856))-π/2
    2×atan(1.42662041353957)-π/2
    2×0.959428164895566-π/2
    1.91885632979113-1.57079632675     		φ = 0.34806000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73842000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.308350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34806000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.942369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50132 KachelY 58124 -0.73842000 0.34806000 -42.308350 19.942369
    Oben rechts KachelX + 1 50133 KachelY 58124 -0.73837206 0.34806000 -42.305603 19.942369
    Unten links KachelX 50132 KachelY + 1 58125 -0.73842000 0.34801494 -42.308350 19.939787
    Unten rechts KachelX + 1 50133 KachelY + 1 58125 -0.73837206 0.34801494 -42.305603 19.939787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34806000-0.34801494) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dl = 287.077259999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34806000-0.34801494) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dr = 287.077259999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73842000--0.73837206) × cos(0.34806000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940036166465555 × 6371000     		do = 287.111241769317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73842000--0.73837206) × cos(0.34801494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940051534340822 × 6371000     		du = 287.115935513993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34806000)-sin(0.34801494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940036166465555-0.940051534340822)×R²
    abs(-0.73837206--0.73842000)×1.5367875267347e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5367875267347e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5367875267347e-05×40589641000000     		ar = 82423.7823499429m²