Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50132 / 48708
↖ ↑ ↗
← S 65.522069°
E 95.383301°		 ← 253.08 m → S 65.522069°
E 95.388794°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
S 65.524344°
E 95.383301°		 ← 253.05 m →
64 040 m²		 S 65.524344°
E 95.388794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764961242675781 y=0.743232727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764961242675781 × 216)
    floor (0.764961242675781 × 65536)
    floor (50132.5)     		tx = 50132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743232727050781 × 216)
    floor (0.743232727050781 × 65536)
    floor (48708.5)     		ty = 48708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50132 / 48708 ti = "16/50132/48708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50132/48708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50132 ÷ 216
    50132 ÷ 65536     		x = 0.76495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48708 ÷ 216
    48708 ÷ 65536     		y = 0.74322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76495361328125 × 2 - 1) × π
    0.5299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66475265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.4864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52822835988739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66475265} λ = 1.66475265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52822835988739))-π/2
    2×atan(0.216919630611994)-π/2
    2×0.213610250672166-π/2
    0.427220501344331-1.57079632675     		φ = -1.14357583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66475265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14357583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.522069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50132 KachelY 48708 1.66475265 -1.14357583 95.383301 -65.522069
    Oben rechts KachelX + 1 50133 KachelY 48708 1.66484852 -1.14357583 95.388794 -65.522069
    Unten links KachelX 50132 KachelY + 1 48709 1.66475265 -1.14361555 95.383301 -65.524344
    Unten rechts KachelX + 1 50133 KachelY + 1 48709 1.66484852 -1.14361555 95.388794 -65.524344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14357583--1.14361555) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14357583--1.14361555) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66475265-1.66484852) × cos(-1.14357583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414342722172328 × 6371000     		do = 253.07546729136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66475265-1.66484852) × cos(-1.14361555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414306571842119 × 6371000     		du = 253.053387111787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14357583)-sin(-1.14361555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414342722172328-0.414306571842119)×R²
    abs(1.66484852-1.66475265)×3.61503302094834e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61503302094834e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61503302094834e-05×40589641000000     		ar = 64039.5020657388m²