Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50131 / 58195
↖ ↑ ↗
← N 19.758949°
W 42.311096°		 ← 287.44 m → N 19.758949°
W 42.308350°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 19.756364°
W 42.311096°		 ← 287.45 m →
82 629 m²		 N 19.756364°
W 42.308350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382472991943359 y=0.443996429443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382472991943359 × 217)
    floor (0.382472991943359 × 131072)
    floor (50131.5)     		tx = 50131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443996429443359 × 217)
    floor (0.443996429443359 × 131072)
    floor (58195.5)     		ty = 58195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50131 / 58195 ti = "17/50131/58195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50131/58195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50131 ÷ 217
    50131 ÷ 131072     		x = 0.382469177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58195 ÷ 217
    58195 ÷ 131072     		y = 0.443992614746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382469177246094 × 2 - 1) × π
    -0.235061645507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.73846794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443992614746094 × 2 - 1) × π
    0.112014770507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.351904780110832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73846794} λ = -0.73846794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351904780110832))-π/2
    2×atan(1.42177313619244)-π/2
    2×0.95782752286518-π/2
    1.91565504573036-1.57079632675     		φ = 0.34485872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73846794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.311096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34485872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.758949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50131 KachelY 58195 -0.73846794 0.34485872 -42.311096 19.758949
    Oben rechts KachelX + 1 50132 KachelY 58195 -0.73842000 0.34485872 -42.308350 19.758949
    Unten links KachelX 50131 KachelY + 1 58196 -0.73846794 0.34481360 -42.311096 19.756364
    Unten rechts KachelX + 1 50132 KachelY + 1 58196 -0.73842000 0.34481360 -42.308350 19.756364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34485872-0.34481360) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34485872-0.34481360) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73846794--0.73842000) × cos(0.34485872) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941123223640965 × 6371000     		do = 287.443257012204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73846794--0.73842000) × cos(0.34481360) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941138476117973 × 6371000     		du = 287.447915511281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34485872)-sin(0.34481360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941123223640965-0.941138476117973)×R²
    abs(-0.73842000--0.73846794)×1.52524770079543e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.52524770079543e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.52524770079543e-05×40589641000000     		ar = 82628.9702669782m²