Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50130 / 48707
↖ ↑ ↗
← S 65.519792°
E 95.372314°		 ← 253.12 m → S 65.519792°
E 95.377808°		 →
↑
253.12 m
↓
↑
253.12 m
↓
S 65.522069°
E 95.372314°		 ← 253.10 m →
64 068 m²		 S 65.522069°
E 95.377808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764930725097656 y=0.743217468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764930725097656 × 216)
    floor (0.764930725097656 × 65536)
    floor (50130.5)     		tx = 50130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743217468261719 × 216)
    floor (0.743217468261719 × 65536)
    floor (48707.5)     		ty = 48707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50130 / 48707 ti = "16/50130/48707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50130/48707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50130 ÷ 216
    50130 ÷ 65536     		x = 0.764923095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48707 ÷ 216
    48707 ÷ 65536     		y = 0.743209838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764923095703125 × 2 - 1) × π
    0.52984619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66456090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743209838867188 × 2 - 1) × π
    -0.486419677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52813248608815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66456090} λ = 1.66456090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52813248608815))-π/2
    2×atan(0.216940428518082)-π/2
    2×0.213630113844425-π/2
    0.427260227688851-1.57079632675     		φ = -1.14353610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66456090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.372314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14353610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.519792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50130 KachelY 48707 1.66456090 -1.14353610 95.372314 -65.519792
    Oben rechts KachelX + 1 50131 KachelY 48707 1.66465678 -1.14353610 95.377808 -65.519792
    Unten links KachelX 50130 KachelY + 1 48708 1.66456090 -1.14357583 95.372314 -65.522069
    Unten rechts KachelX + 1 50131 KachelY + 1 48708 1.66465678 -1.14357583 95.377808 -65.522069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14353610--1.14357583) × R
    3.97300000001266e-05 × 6371000     		dl = 253.119830000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14353610--1.14357583) × R
    3.97300000001266e-05 × 6371000     		dr = 253.119830000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66456090-1.66465678) × cos(-1.14353610) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.414378880949883 × 6371000     		do = 253.1239527094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66456090-1.66465678) × cos(-1.14357583) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.414342722172328 × 6371000     		du = 253.101865066616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14353610)-sin(-1.14357583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414378880949883-0.414342722172328)×R²
    abs(1.66465678-1.66456090)×3.61587775548067e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.61587775548067e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.61587775548067e-05×40589641000000     		ar = 64067.8964772707m²