Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5013 / 1181
↖ ↑ ↗
← N 77.795484°
E 40.297851°		 ← 1 033.01 m → N 77.795484°
E 40.341797°		 →
↑
1 033.38 m
↓
↑
1 033.38 m
↓
N 77.786191°
E 40.297851°		 ← 1 033.79 m →
1 067 892 m²		 N 77.786191°
E 40.341797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61199951171875 y=0.14422607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61199951171875 × 213)
    floor (0.61199951171875 × 8192)
    floor (5013.5)     		tx = 5013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14422607421875 × 213)
    floor (0.14422607421875 × 8192)
    floor (1181.5)     		ty = 1181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5013 / 1181 ti = "13/5013/1181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5013/1181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5013 ÷ 213
    5013 ÷ 8192     		x = 0.6119384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1181 ÷ 213
    1181 ÷ 8192     		y = 0.1441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6119384765625 × 2 - 1) × π
    0.223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70333019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1441650390625 × 2 - 1) × π
    0.711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23577699827942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70333019} λ = 0.70333019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23577699827942))-π/2
    2×atan(9.35374687460386)-π/2
    2×1.46429183378734-π/2
    2.92858366757467-1.57079632675     		φ = 1.35778734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70333019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.297851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35778734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.795484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5013 KachelY 1181 0.70333019 1.35778734 40.297851 77.795484
    Oben rechts KachelX + 1 5014 KachelY 1181 0.70409718 1.35778734 40.341797 77.795484
    Unten links KachelX 5013 KachelY + 1 1182 0.70333019 1.35762514 40.297851 77.786191
    Unten rechts KachelX + 1 5014 KachelY + 1 1182 0.70409718 1.35762514 40.341797 77.786191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35778734-1.35762514) × R
    0.000162200000000112 × 6371000     		dl = 1033.37620000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35778734-1.35762514) × R
    0.000162200000000112 × 6371000     		dr = 1033.37620000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70333019-0.70409718) × cos(1.35778734) × R
    0.000766990000000023 × 0.211401833815283 × 6371000     		do = 1033.01364243211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70333019-0.70409718) × cos(1.35762514) × R
    0.000766990000000023 × 0.211560365189643 × 6371000     		du = 1033.78830492917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35778734)-sin(1.35762514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211401833815283-0.211560365189643)×R²
    abs(0.70409718-0.70333019)×0.000158531374360171×R²
    0.000766990000000023×0.000158531374360171×6371000²
    0.000766990000000023×0.000158531374360171×40589641000000     		ar = 1067891.97359872m²