Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50128 / 58192
↖ ↑ ↗
← N 19.766704°
W 42.319336°		 ← 287.43 m → N 19.766704°
W 42.316589°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.764119°
W 42.319336°		 ← 287.43 m →
82 607 m²		 N 19.764119°
W 42.316589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382450103759766 y=0.443973541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382450103759766 × 217)
    floor (0.382450103759766 × 131072)
    floor (50128.5)     		tx = 50128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443973541259766 × 217)
    floor (0.443973541259766 × 131072)
    floor (58192.5)     		ty = 58192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50128 / 58192 ti = "17/50128/58192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50128/58192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50128 ÷ 217
    50128 ÷ 131072     		x = 0.3824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58192 ÷ 217
    58192 ÷ 131072     		y = 0.4439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3824462890625 × 2 - 1) × π
    -0.235107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73861175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    0.112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.352048590809692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73861175} λ = -0.73861175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352048590809692))-π/2
    2×atan(1.42197761708369)-π/2
    2×0.957895193014273-π/2
    1.91579038602855-1.57079632675     		φ = 0.34499406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73861175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.319336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34499406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.766704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50128 KachelY 58192 -0.73861175 0.34499406 -42.319336 19.766704
    Oben rechts KachelX + 1 50129 KachelY 58192 -0.73856381 0.34499406 -42.316589 19.766704
    Unten links KachelX 50128 KachelY + 1 58193 -0.73861175 0.34494895 -42.319336 19.764119
    Unten rechts KachelX + 1 50129 KachelY + 1 58193 -0.73856381 0.34494895 -42.316589 19.764119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34499406-0.34494895) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dl = 287.395810000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34499406-0.34494895) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dr = 287.395810000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73861175--0.73856381) × cos(0.34499406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941077461478174 × 6371000     		do = 287.429280069104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73861175--0.73856381) × cos(0.34494895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941092716320609 × 6371000     		du = 287.433939290644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34499406)-sin(0.34494895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941077461478174-0.941092716320609)×R²
    abs(-0.73856381--0.73861175)×1.52548424358079e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52548424358079e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52548424358079e-05×40589641000000     		ar = 82606.6402974935m²