Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50127 / 58132
↖ ↑ ↗
← N 19.921713°
W 42.322083°		 ← 287.15 m → N 19.921713°
W 42.319336°		 →
↑
287.14 m
↓
↑
287.14 m
↓
N 19.919130°
W 42.322083°		 ← 287.15 m →
82 453 m²		 N 19.919130°
W 42.319336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382442474365234 y=0.443515777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382442474365234 × 217)
    floor (0.382442474365234 × 131072)
    floor (50127.5)     		tx = 50127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443515777587891 × 217)
    floor (0.443515777587891 × 131072)
    floor (58132.5)     		ty = 58132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50127 / 58132 ti = "17/50127/58132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50127/58132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50127 ÷ 217
    50127 ÷ 131072     		x = 0.382438659667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58132 ÷ 217
    58132 ÷ 131072     		y = 0.443511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382438659667969 × 2 - 1) × π
    -0.235122680664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.73865969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443511962890625 × 2 - 1) × π
    0.11297607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.354924804786896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73865969} λ = -0.73865969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354924804786896))-π/2
    2×atan(1.4260734163552)-π/2
    2×0.95924790343337-π/2
    1.91849580686674-1.57079632675     		φ = 0.34769948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73865969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.322083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34769948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.921713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50127 KachelY 58132 -0.73865969 0.34769948 -42.322083 19.921713
    Oben rechts KachelX + 1 50128 KachelY 58132 -0.73861175 0.34769948 -42.319336 19.921713
    Unten links KachelX 50127 KachelY + 1 58133 -0.73865969 0.34765441 -42.322083 19.919130
    Unten rechts KachelX + 1 50128 KachelY + 1 58133 -0.73861175 0.34765441 -42.319336 19.919130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34769948-0.34765441) × R
    4.50699999999804e-05 × 6371000     		dl = 287.140969999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34769948-0.34765441) × R
    4.50699999999804e-05 × 6371000     		dr = 287.140969999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73865969--0.73861175) × cos(0.34769948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940159069652229 × 6371000     		do = 287.148779566055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73865969--0.73861175) × cos(0.34765441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940174425662391 × 6371000     		du = 287.153469686823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34769948)-sin(0.34765441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940159069652229-0.940174425662391)×R²
    abs(-0.73861175--0.73865969)×1.53560101621153e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53560101621153e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53560101621153e-05×40589641000000     		ar = 82452.8524757777m²