Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50126 / 48704
↖ ↑ ↗
← S 65.512963°
E 95.350342°		 ← 253.16 m → S 65.512963°
E 95.355835°		 →
↑
253.18 m
↓
↑
253.18 m
↓
S 65.515240°
E 95.350342°		 ← 253.14 m →
64 094 m²		 S 65.515240°
E 95.355835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764869689941406 y=0.743171691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764869689941406 × 216)
    floor (0.764869689941406 × 65536)
    floor (50126.5)     		tx = 50126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743171691894531 × 216)
    floor (0.743171691894531 × 65536)
    floor (48704.5)     		ty = 48704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50126 / 48704 ti = "16/50126/48704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50126/48704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50126 ÷ 216
    50126 ÷ 65536     		x = 0.764862060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48704 ÷ 216
    48704 ÷ 65536     		y = 0.7431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764862060546875 × 2 - 1) × π
    0.52972412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66417741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7431640625 × 2 - 1) × π
    -0.486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52784486469043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66417741} λ = 1.66417741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52784486469043))-π/2
    2×atan(0.217002834201529)-π/2
    2×0.213689713761125-π/2
    0.42737942752225-1.57079632675     		φ = -1.14341690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66417741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.350342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14341690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.512963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50126 KachelY 48704 1.66417741 -1.14341690 95.350342 -65.512963
    Oben rechts KachelX + 1 50127 KachelY 48704 1.66427328 -1.14341690 95.355835 -65.512963
    Unten links KachelX 50126 KachelY + 1 48705 1.66417741 -1.14345664 95.350342 -65.515240
    Unten rechts KachelX + 1 50127 KachelY + 1 48705 1.66427328 -1.14345664 95.355835 -65.515240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14341690--1.14345664) × R
    3.97399999998438e-05 × 6371000     		dl = 253.183539999005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14341690--1.14345664) × R
    3.97399999998438e-05 × 6371000     		dr = 253.183539999005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66417741-1.66427328) × cos(-1.14341690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414487362458354 × 6371000     		do = 253.163811809114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66417741-1.66427328) × cos(-1.14345664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414451196542678 × 6371000     		du = 253.141722110128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14341690)-sin(-1.14345664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414487362458354-0.414451196542678)×R²
    abs(1.66427328-1.66417741)×3.61659156765115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61659156765115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61659156765115e-05×40589641000000     		ar = 64094.1137078441m²