Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50125 / 48700
↖ ↑ ↗
← S 65.503854°
E 95.344848°		 ← 253.28 m → S 65.503854°
E 95.350342°		 →
↑
253.25 m
↓
↑
253.25 m
↓
S 65.506131°
E 95.344848°		 ← 253.26 m →
64 139 m²		 S 65.506131°
E 95.350342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764854431152344 y=0.743110656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764854431152344 × 216)
    floor (0.764854431152344 × 65536)
    floor (50125.5)     		tx = 50125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743110656738281 × 216)
    floor (0.743110656738281 × 65536)
    floor (48700.5)     		ty = 48700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50125 / 48700 ti = "16/50125/48700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50125/48700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50125 ÷ 216
    50125 ÷ 65536     		x = 0.764846801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48700 ÷ 216
    48700 ÷ 65536     		y = 0.74310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764846801757812 × 2 - 1) × π
    0.529693603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66408153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.4862060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52746136949347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66408153} λ = 1.66408153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52746136949347))-π/2
    2×atan(0.21708606970536)-π/2
    2×0.213769204587681-π/2
    0.427538409175361-1.57079632675     		φ = -1.14325792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66408153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.344848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14325792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.503854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50125 KachelY 48700 1.66408153 -1.14325792 95.344848 -65.503854
    Oben rechts KachelX + 1 50126 KachelY 48700 1.66417741 -1.14325792 95.350342 -65.503854
    Unten links KachelX 50125 KachelY + 1 48701 1.66408153 -1.14329767 95.344848 -65.506131
    Unten rechts KachelX + 1 50126 KachelY + 1 48701 1.66417741 -1.14329767 95.350342 -65.506131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14325792--1.14329767) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dl = 253.247250000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14325792--1.14329767) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dr = 253.247250000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66408153-1.66417741) × cos(-1.14325792) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414632037774409 × 6371000     		do = 253.278593929747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66408153-1.66417741) × cos(-1.14329767) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414595865377694 × 6371000     		du = 253.256497967679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14325792)-sin(-1.14329767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414632037774409-0.414595865377694)×R²
    abs(1.66417741-1.66408153)×3.61723967149397e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.61723967149397e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.61723967149397e-05×40589641000000     		ar = 64139.3095340859m²