Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50124 / 58188
↖ ↑ ↗
← N 19.777042°
W 42.330322°		 ← 287.41 m → N 19.777042°
W 42.327576°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.774457°
W 42.330322°		 ← 287.42 m →
82 601 m²		 N 19.774457°
W 42.327576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382419586181641 y=0.443943023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382419586181641 × 217)
    floor (0.382419586181641 × 131072)
    floor (50124.5)     		tx = 50124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443943023681641 × 217)
    floor (0.443943023681641 × 131072)
    floor (58188.5)     		ty = 58188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50124 / 58188 ti = "17/50124/58188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50124/58188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50124 ÷ 217
    50124 ÷ 131072     		x = 0.382415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58188 ÷ 217
    58188 ÷ 131072     		y = 0.443939208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.23516845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73880350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443939208984375 × 2 - 1) × π
    0.11212158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.352240338408173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73880350} λ = -0.73880350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352240338408173))-π/2
    2×atan(1.42225030401956)-π/2
    2×0.957985414760068-π/2
    1.91597082952014-1.57079632675     		φ = 0.34517450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73880350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.330322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34517450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.777042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50124 KachelY 58188 -0.73880350 0.34517450 -42.330322 19.777042
    Oben rechts KachelX + 1 50125 KachelY 58188 -0.73875556 0.34517450 -42.327576 19.777042
    Unten links KachelX 50124 KachelY + 1 58189 -0.73880350 0.34512939 -42.330322 19.774457
    Unten rechts KachelX + 1 50125 KachelY + 1 58189 -0.73875556 0.34512939 -42.327576 19.774457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34517450-0.34512939) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dl = 287.395810000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34517450-0.34512939) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dr = 287.395810000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73880350--0.73875556) × cos(0.34517450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941016422958641 × 6371000     		do = 287.410637334108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73880350--0.73875556) × cos(0.34512939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941031685460931 × 6371000     		du = 287.415298895164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34517450)-sin(0.34512939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941016422958641-0.941031685460931)×R²
    abs(-0.73875556--0.73880350)×1.52625022892261e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52625022892261e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52625022892261e-05×40589641000000     		ar = 82601.2827898947m²