Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50124 / 49874
↖ ↑ ↗
← S 68.044569°
E 95.339355°		 ← 228.36 m → S 68.044569°
E 95.344848°		 →
↑
228.40 m
↓
↑
228.40 m
↓
S 68.046623°
E 95.339355°		 ← 228.34 m →
52 156 m²		 S 68.046623°
E 95.344848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764839172363281 y=0.761024475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764839172363281 × 216)
    floor (0.764839172363281 × 65536)
    floor (50124.5)     		tx = 50124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761024475097656 × 216)
    floor (0.761024475097656 × 65536)
    floor (49874.5)     		ty = 49874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50124 / 49874 ti = "16/50124/49874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50124/49874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50124 ÷ 216
    50124 ÷ 65536     		x = 0.76483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49874 ÷ 216
    49874 ÷ 65536     		y = 0.761016845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76483154296875 × 2 - 1) × π
    0.5296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66398566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761016845703125 × 2 - 1) × π
    -0.52203369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64001720980136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66398566} λ = 1.66398566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64001720980136))-π/2
    2×atan(0.193976703961622)-π/2
    2×0.191597277646951-π/2
    0.383194555293903-1.57079632675     		φ = -1.18760177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66398566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.339355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18760177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.044569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50124 KachelY 49874 1.66398566 -1.18760177 95.339355 -68.044569
    Oben rechts KachelX + 1 50125 KachelY 49874 1.66408153 -1.18760177 95.344848 -68.044569
    Unten links KachelX 50124 KachelY + 1 49875 1.66398566 -1.18763762 95.339355 -68.046623
    Unten rechts KachelX + 1 50125 KachelY + 1 49875 1.66408153 -1.18763762 95.344848 -68.046623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18760177--1.18763762) × R
    3.58500000001705e-05 × 6371000     		dl = 228.400350001086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18760177--1.18763762) × R
    3.58500000001705e-05 × 6371000     		dr = 228.400350001086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66398566-1.66408153) × cos(-1.18760177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373885243632936 × 6371000     		do = 228.364534194462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66398566-1.66408153) × cos(-1.18763762) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373851993414916 × 6371000     		du = 228.344225367946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18760177)-sin(-1.18763762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373885243632936-0.373851993414916)×R²
    abs(1.66408153-1.66398566)×3.32502180195871e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32502180195871e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32502180195871e-05×40589641000000     		ar = 52156.2202722336m²