Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50123 / 50751
↖ ↑ ↗
← S 69.777053°
E 95.333863°		 ← 211.13 m → S 69.777053°
E 95.339355°		 →
↑
211.13 m
↓
↑
211.13 m
↓
S 69.778952°
E 95.333863°		 ← 211.11 m →
44 576 m²		 S 69.778952°
E 95.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764823913574219 y=0.774406433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764823913574219 × 216)
    floor (0.764823913574219 × 65536)
    floor (50123.5)     		tx = 50123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774406433105469 × 216)
    floor (0.774406433105469 × 65536)
    floor (50751.5)     		ty = 50751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50123 / 50751 ti = "16/50123/50751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50123/50751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50123 ÷ 216
    50123 ÷ 65536     		x = 0.764816284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50751 ÷ 216
    50751 ÷ 65536     		y = 0.774398803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764816284179688 × 2 - 1) × π
    0.529632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66388979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774398803710938 × 2 - 1) × π
    -0.548797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72409853173494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66388979} λ = 1.66388979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72409853173494))-π/2
    2×atan(0.178333741542242)-π/2
    2×0.176478504657426-π/2
    0.352957009314852-1.57079632675     		φ = -1.21783932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66388979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.333863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21783932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.777053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50123 KachelY 50751 1.66388979 -1.21783932 95.333863 -69.777053
    Oben rechts KachelX + 1 50124 KachelY 50751 1.66398566 -1.21783932 95.339355 -69.777053
    Unten links KachelX 50123 KachelY + 1 50752 1.66388979 -1.21787246 95.333863 -69.778952
    Unten rechts KachelX + 1 50124 KachelY + 1 50752 1.66398566 -1.21787246 95.339355 -69.778952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21783932--1.21787246) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dl = 211.134939999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21783932--1.21787246) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dr = 211.134939999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66388979-1.66398566) × cos(-1.21783932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345674035773131 × 6371000     		do = 211.133473456766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66388979-1.66398566) × cos(-1.21787246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345642938510007 × 6371000     		du = 211.11447962877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21783932)-sin(-1.21787246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345674035773131-0.345642938510007)×R²
    abs(1.66398566-1.66388979)×3.10972631238915e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10972631238915e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10972631238915e-05×40589641000000     		ar = 44575.6481241909m²