Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50123 / 49572
↖ ↑ ↗
← S 67.415927°
E 95.333863°		 ← 234.57 m → S 67.415927°
E 95.339355°		 →
↑
234.52 m
↓
↑
234.52 m
↓
S 67.418036°
E 95.333863°		 ← 234.55 m →
55 007 m²		 S 67.418036°
E 95.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764823913574219 y=0.756416320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764823913574219 × 216)
    floor (0.764823913574219 × 65536)
    floor (50123.5)     		tx = 50123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756416320800781 × 216)
    floor (0.756416320800781 × 65536)
    floor (49572.5)     		ty = 49572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50123 / 49572 ti = "16/50123/49572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50123/49572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50123 ÷ 216
    50123 ÷ 65536     		x = 0.764816284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49572 ÷ 216
    49572 ÷ 65536     		y = 0.75640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764816284179688 × 2 - 1) × π
    0.529632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66388979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.5128173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61106332243085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66388979} λ = 1.66388979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61106332243085))-π/2
    2×atan(0.199675182053332)-π/2
    2×0.197083215400726-π/2
    0.394166430801452-1.57079632675     		φ = -1.17662990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66388979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.333863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17662990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.415927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50123 KachelY 49572 1.66388979 -1.17662990 95.333863 -67.415927
    Oben rechts KachelX + 1 50124 KachelY 49572 1.66398566 -1.17662990 95.339355 -67.415927
    Unten links KachelX 50123 KachelY + 1 49573 1.66388979 -1.17666671 95.333863 -67.418036
    Unten rechts KachelX + 1 50124 KachelY + 1 49573 1.66398566 -1.17666671 95.339355 -67.418036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17662990--1.17666671) × R
    3.68099999998872e-05 × 6371000     		dl = 234.516509999281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17662990--1.17666671) × R
    3.68099999998872e-05 × 6371000     		dr = 234.516509999281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66388979-1.66398566) × cos(-1.17662990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384038670002012 × 6371000     		do = 234.566122844289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66388979-1.66398566) × cos(-1.17666671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38400468244272 × 6371000     		du = 234.545363658742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17662990)-sin(-1.17666671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384038670002012-0.38400468244272)×R²
    abs(1.66398566-1.66388979)×3.39875592917371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39875592917371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39875592917371e-05×40589641000000     		ar = 55007.1943139624m²