Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50123 / 48721
↖ ↑ ↗
← S 65.551640°
E 95.333863°		 ← 252.79 m → S 65.551640°
E 95.339355°		 →
↑
252.80 m
↓
↑
252.80 m
↓
S 65.553914°
E 95.333863°		 ← 252.77 m →
63 902 m²		 S 65.553914°
E 95.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764823913574219 y=0.743431091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764823913574219 × 216)
    floor (0.764823913574219 × 65536)
    floor (50123.5)     		tx = 50123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743431091308594 × 216)
    floor (0.743431091308594 × 65536)
    floor (48721.5)     		ty = 48721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50123 / 48721 ti = "16/50123/48721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50123/48721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50123 ÷ 216
    50123 ÷ 65536     		x = 0.764816284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48721 ÷ 216
    48721 ÷ 65536     		y = 0.743423461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764816284179688 × 2 - 1) × π
    0.529632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66388979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743423461914062 × 2 - 1) × π
    -0.486846923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52947471927751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66388979} λ = 1.66388979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52947471927751))-π/2
    2×atan(0.216649439206254)-π/2
    2×0.213352187103096-π/2
    0.426704374206192-1.57079632675     		φ = -1.14409195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66388979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.333863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14409195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.551640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50123 KachelY 48721 1.66388979 -1.14409195 95.333863 -65.551640
    Oben rechts KachelX + 1 50124 KachelY 48721 1.66398566 -1.14409195 95.339355 -65.551640
    Unten links KachelX 50123 KachelY + 1 48722 1.66388979 -1.14413163 95.333863 -65.553914
    Unten rechts KachelX + 1 50124 KachelY + 1 48722 1.66398566 -1.14413163 95.339355 -65.553914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14409195--1.14413163) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dl = 252.801279999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14409195--1.14413163) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dr = 252.801279999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66388979-1.66398566) × cos(-1.14409195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41387293539213 × 6371000     		do = 252.788527271508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66388979-1.66398566) × cos(-1.14413163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413836812987006 × 6371000     		du = 252.766464148235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14409195)-sin(-1.14413163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41387293539213-0.413836812987006)×R²
    abs(1.66398566-1.66388979)×3.61224051245723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61224051245723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61224051245723e-05×40589641000000     		ar = 63902.4744791827m²