Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50122 / 58058
↖ ↑ ↗
← N 20.112681°
W 42.335815°		 ← 286.80 m → N 20.112681°
W 42.333069°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
N 20.110102°
W 42.335815°		 ← 286.81 m →
82 243 m²		 N 20.110102°
W 42.333069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382404327392578 y=0.442951202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382404327392578 × 217)
    floor (0.382404327392578 × 131072)
    floor (50122.5)     		tx = 50122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442951202392578 × 217)
    floor (0.442951202392578 × 131072)
    floor (58058.5)     		ty = 58058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50122 / 58058 ti = "17/50122/58058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50122/58058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50122 ÷ 217
    50122 ÷ 131072     		x = 0.382400512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58058 ÷ 217
    58058 ÷ 131072     		y = 0.442947387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382400512695312 × 2 - 1) × π
    -0.235198974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73889937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442947387695312 × 2 - 1) × π
    0.114105224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.35847213535878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73889937} λ = -0.73889937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35847213535878))-π/2
    2×atan(1.43114115333777)-π/2
    2×0.960914420485297-π/2
    1.92182884097059-1.57079632675     		φ = 0.35103251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73889937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.335815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35103251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.112681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50122 KachelY 58058 -0.73889937 0.35103251 -42.335815 20.112681
    Oben rechts KachelX + 1 50123 KachelY 58058 -0.73885143 0.35103251 -42.333069 20.112681
    Unten links KachelX 50122 KachelY + 1 58059 -0.73889937 0.35098750 -42.335815 20.110102
    Unten rechts KachelX + 1 50123 KachelY + 1 58059 -0.73885143 0.35098750 -42.333069 20.110102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35103251-0.35098750) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35103251-0.35098750) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73889937--0.73885143) × cos(0.35103251) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939018166773379 × 6371000     		do = 286.800318460679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73889937--0.73885143) × cos(0.35098750) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939033643300001 × 6371000     		du = 286.805045390275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35103251)-sin(0.35098750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939018166773379-0.939033643300001)×R²
    abs(-0.73885143--0.73889937)×1.5476526621705e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.5476526621705e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.5476526621705e-05×40589641000000     		ar = 82243.1671073976m²