Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50121 / 58201
↖ ↑ ↗
← N 19.743439°
W 42.338562°		 ← 287.47 m → N 19.743439°
W 42.335815°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 19.740854°
W 42.338562°		 ← 287.48 m →
82 637 m²		 N 19.740854°
W 42.335815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382396697998047 y=0.444042205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382396697998047 × 217)
    floor (0.382396697998047 × 131072)
    floor (50121.5)     		tx = 50121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444042205810547 × 217)
    floor (0.444042205810547 × 131072)
    floor (58201.5)     		ty = 58201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50121 / 58201 ti = "17/50121/58201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50121/58201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50121 ÷ 217
    50121 ÷ 131072     		x = 0.382392883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58201 ÷ 217
    58201 ÷ 131072     		y = 0.444038391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382392883300781 × 2 - 1) × π
    -0.235214233398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.73894731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444038391113281 × 2 - 1) × π
    0.111923217773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.351617158713112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73894731} λ = -0.73894731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351617158713112))-π/2
    2×atan(1.42136426261898)-π/2
    2×0.957692172698039-π/2
    1.91538434539608-1.57079632675     		φ = 0.34458802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73894731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.338562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34458802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.743439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50121 KachelY 58201 -0.73894731 0.34458802 -42.338562 19.743439
    Oben rechts KachelX + 1 50122 KachelY 58201 -0.73889937 0.34458802 -42.335815 19.743439
    Unten links KachelX 50121 KachelY + 1 58202 -0.73894731 0.34454290 -42.338562 19.740854
    Unten rechts KachelX + 1 50122 KachelY + 1 58202 -0.73889937 0.34454290 -42.335815 19.740854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34458802-0.34454290) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34458802-0.34454290) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73894731--0.73889937) × cos(0.34458802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941214703006464 × 6371000     		do = 287.471197164441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73894731--0.73889937) × cos(0.34454290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941229943987956 × 6371000     		du = 287.475852152491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34458802)-sin(0.34454290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941214703006464-0.941229943987956)×R²
    abs(-0.73889937--0.73894731)×1.52409814920818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52409814920818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52409814920818e-05×40589641000000     		ar = 82637.0014250679m²