Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50121 / 49963
↖ ↑ ↗
← S 68.226637°
E 95.322876°		 ← 226.56 m → S 68.226637°
E 95.328369°		 →
↑
226.55 m
↓
↑
226.55 m
↓
S 68.228674°
E 95.322876°		 ← 226.54 m →
51 326 m²		 S 68.228674°
E 95.328369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764793395996094 y=0.762382507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764793395996094 × 216)
    floor (0.764793395996094 × 65536)
    floor (50121.5)     		tx = 50121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762382507324219 × 216)
    floor (0.762382507324219 × 65536)
    floor (49963.5)     		ty = 49963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50121 / 49963 ti = "16/50121/49963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50121/49963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50121 ÷ 216
    50121 ÷ 65536     		x = 0.764785766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49963 ÷ 216
    49963 ÷ 65536     		y = 0.762374877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764785766601562 × 2 - 1) × π
    0.529571533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66369804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762374877929688 × 2 - 1) × π
    -0.524749755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64854997793373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66369804} λ = 1.66369804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64854997793373))-π/2
    2×atan(0.192328587222312)-π/2
    2×0.190008437572849-π/2
    0.380016875145698-1.57079632675     		φ = -1.19077945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66369804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.322876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19077945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.226637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50121 KachelY 49963 1.66369804 -1.19077945 95.322876 -68.226637
    Oben rechts KachelX + 1 50122 KachelY 49963 1.66379391 -1.19077945 95.328369 -68.226637
    Unten links KachelX 50121 KachelY + 1 49964 1.66369804 -1.19081501 95.322876 -68.228674
    Unten rechts KachelX + 1 50122 KachelY + 1 49964 1.66379391 -1.19081501 95.328369 -68.228674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19077945--1.19081501) × R
    3.55599999999345e-05 × 6371000     		dl = 226.552759999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19077945--1.19081501) × R
    3.55599999999345e-05 × 6371000     		dr = 226.552759999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66369804-1.66379391) × cos(-1.19077945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37093614224274 × 6371000     		do = 226.563259132841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66369804-1.66379391) × cos(-1.19081501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370903118916388 × 6371000     		du = 226.54308888898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19077945)-sin(-1.19081501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37093614224274-0.370903118916388)×R²
    abs(1.66379391-1.66369804)×3.30233263525215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30233263525215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30233263525215e-05×40589641000000     		ar = 51326.2468642689m²