Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50120 / 84568
↖ ↑ ↗
← S 46.240652°
W 42.341308°		 ← 211.20 m → S 46.240652°
W 42.338562°		 →
↑
211.26 m
↓
↑
211.26 m
↓
S 46.242552°
W 42.341308°		 ← 211.19 m →
44 617 m²		 S 46.242552°
W 42.338562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382389068603516 y=0.645206451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382389068603516 × 217)
    floor (0.382389068603516 × 131072)
    floor (50120.5)     		tx = 50120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645206451416016 × 217)
    floor (0.645206451416016 × 131072)
    floor (84568.5)     		ty = 84568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50120 / 84568 ti = "17/50120/84568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50120/84568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50120 ÷ 217
    50120 ÷ 131072     		x = 0.38238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84568 ÷ 217
    84568 ÷ 131072     		y = 0.64520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.2352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73899524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.2904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.912335073568909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73899524} λ = -0.73899524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912335073568909))-π/2
    2×atan(0.401585396899048)-π/2
    2×0.3818723509647-π/2
    0.7637447019294-1.57079632675     		φ = -0.80705162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73899524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.341308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80705162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.240652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50120 KachelY 84568 -0.73899524 -0.80705162 -42.341308 -46.240652
    Oben rechts KachelX + 1 50121 KachelY 84568 -0.73894731 -0.80705162 -42.338562 -46.240652
    Unten links KachelX 50120 KachelY + 1 84569 -0.73899524 -0.80708478 -42.341308 -46.242552
    Unten rechts KachelX + 1 50121 KachelY + 1 84569 -0.73894731 -0.80708478 -42.338562 -46.242552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80705162--0.80708478) × R
    3.31599999999765e-05 × 6371000     		dl = 211.262359999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80705162--0.80708478) × R
    3.31599999999765e-05 × 6371000     		dr = 211.262359999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73899524--0.73894731) × cos(-0.80705162) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.691630906793315 × 6371000     		do = 211.197817709277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73899524--0.73894731) × cos(-0.80708478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.691606956565733 × 6371000     		du = 211.190504219163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80705162)-sin(-0.80708478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691630906793315-0.691606956565733)×R²
    abs(-0.73894731--0.73899524)×2.39502275819481e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39502275819481e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39502275819481e-05×40589641000000     		ar = 44617.3768674561m²