Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50120 / 58198
↖ ↑ ↗
← N 19.751194°
W 42.341308°		 ← 287.40 m → N 19.751194°
W 42.338562°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.748610°
W 42.341308°		 ← 287.40 m →
82 597 m²		 N 19.748610°
W 42.338562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382389068603516 y=0.444019317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382389068603516 × 217)
    floor (0.382389068603516 × 131072)
    floor (50120.5)     		tx = 50120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444019317626953 × 217)
    floor (0.444019317626953 × 131072)
    floor (58198.5)     		ty = 58198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50120 / 58198 ti = "17/50120/58198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50120/58198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50120 ÷ 217
    50120 ÷ 131072     		x = 0.38238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58198 ÷ 217
    58198 ÷ 131072     		y = 0.444015502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.2352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73899524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444015502929688 × 2 - 1) × π
    0.111968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.351760969411972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73899524} λ = -0.73899524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351760969411972))-π/2
    2×atan(1.42156868470561)-π/2
    2×0.957759849426076-π/2
    1.91551969885215-1.57079632675     		φ = 0.34472337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73899524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.341308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34472337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.751194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50120 KachelY 58198 -0.73899524 0.34472337 -42.341308 19.751194
    Oben rechts KachelX + 1 50121 KachelY 58198 -0.73894731 0.34472337 -42.338562 19.751194
    Unten links KachelX 50120 KachelY + 1 58199 -0.73899524 0.34467826 -42.341308 19.748610
    Unten rechts KachelX + 1 50121 KachelY + 1 58199 -0.73894731 0.34467826 -42.338562 19.748610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34472337-0.34467826) × R
    4.51099999999593e-05 × 6371000     		dl = 287.395809999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34472337-0.34467826) × R
    4.51099999999593e-05 × 6371000     		dr = 287.395809999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73899524--0.73894731) × cos(0.34472337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941168971944644 × 6371000     		do = 287.397267846206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73899524--0.73894731) × cos(0.34467826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941184215295095 × 6371000     		du = 287.401922586643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34472337)-sin(0.34467826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941168971944644-0.941184215295095)×R²
    abs(-0.73894731--0.73899524)×1.52433504508886e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52433504508886e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52433504508886e-05×40589641000000     		ar = 82597.4394748591m²