Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50119 / 58183
↖ ↑ ↗
← N 19.789965°
W 42.344055°		 ← 287.39 m → N 19.789965°
W 42.341308°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.787380°
W 42.344055°		 ← 287.39 m →
82 595 m²		 N 19.787380°
W 42.341308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382381439208984 y=0.443904876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382381439208984 × 217)
    floor (0.382381439208984 × 131072)
    floor (50119.5)     		tx = 50119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443904876708984 × 217)
    floor (0.443904876708984 × 131072)
    floor (58183.5)     		ty = 58183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50119 / 58183 ti = "17/50119/58183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50119/58183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50119 ÷ 217
    50119 ÷ 131072     		x = 0.382377624511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58183 ÷ 217
    58183 ÷ 131072     		y = 0.443901062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382377624511719 × 2 - 1) × π
    -0.235244750976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.73904318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443901062011719 × 2 - 1) × π
    0.112197875976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.352480022906273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73904318} λ = -0.73904318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352480022906273))-π/2
    2×atan(1.4225912362263)-π/2
    2×0.958098183710687-π/2
    1.91619636742137-1.57079632675     		φ = 0.34540004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73904318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.344055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34540004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.789965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50119 KachelY 58183 -0.73904318 0.34540004 -42.344055 19.789965
    Oben rechts KachelX + 1 50120 KachelY 58183 -0.73899524 0.34540004 -42.341308 19.789965
    Unten links KachelX 50119 KachelY + 1 58184 -0.73904318 0.34535493 -42.344055 19.787380
    Unten rechts KachelX + 1 50120 KachelY + 1 58184 -0.73899524 0.34535493 -42.341308 19.787380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34540004-0.34535493) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dl = 287.395810000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34540004-0.34535493) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dr = 287.395810000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73904318--0.73899524) × cos(0.34540004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940940085110262 × 6371000     		do = 287.387321790276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73904318--0.73899524) × cos(0.34535493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940955357186245 × 6371000     		du = 287.391986275385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34540004)-sin(0.34535493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940940085110262-0.940955357186245)×R²
    abs(-0.73899524--0.73904318)×1.52720759826197e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52720759826197e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52720759826197e-05×40589641000000     		ar = 82594.5824204598m²