Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50117 / 58180
↖ ↑ ↗
← N 19.797717°
W 42.349549°		 ← 287.37 m → N 19.797717°
W 42.346802°		 →
↑
287.33 m
↓
↑
287.33 m
↓
N 19.795133°
W 42.349549°		 ← 287.38 m →
82 572 m²		 N 19.795133°
W 42.346802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382366180419922 y=0.443881988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382366180419922 × 217)
    floor (0.382366180419922 × 131072)
    floor (50117.5)     		tx = 50117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443881988525391 × 217)
    floor (0.443881988525391 × 131072)
    floor (58180.5)     		ty = 58180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50117 / 58180 ti = "17/50117/58180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50117/58180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50117 ÷ 217
    50117 ÷ 131072     		x = 0.382362365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58180 ÷ 217
    58180 ÷ 131072     		y = 0.443878173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382362365722656 × 2 - 1) × π
    -0.235275268554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.73913906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    0.11224365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.352623833605133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73913906} λ = -0.73913906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352623833605133))-π/2
    2×atan(1.42279583477755)-π/2
    2×0.958165840688941-π/2
    1.91633168137788-1.57079632675     		φ = 0.34553535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73913906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.349549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34553535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.797717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50117 KachelY 58180 -0.73913906 0.34553535 -42.349549 19.797717
    Oben rechts KachelX + 1 50118 KachelY 58180 -0.73909112 0.34553535 -42.346802 19.797717
    Unten links KachelX 50117 KachelY + 1 58181 -0.73913906 0.34549025 -42.349549 19.795133
    Unten rechts KachelX + 1 50118 KachelY + 1 58181 -0.73909112 0.34549025 -42.346802 19.795133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34553535-0.34549025) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dl = 287.332100000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34553535-0.34549025) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dr = 287.332100000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73913906--0.73909112) × cos(0.34553535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940894264168065 × 6371000     		do = 287.373326895098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73913906--0.73909112) × cos(0.34549025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940909538600717 × 6371000     		du = 287.377992099994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34553535)-sin(0.34549025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940894264168065-0.940909538600717)×R²
    abs(-0.73909112--0.73913906)×1.52744326517018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52744326517018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52744326517018e-05×40589641000000     		ar = 82572.2517463534m²