Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50117 / 49863
↖ ↑ ↗
← S 68.021966°
E 95.300903°		 ← 228.61 m → S 68.021966°
E 95.306397°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
S 68.024022°
E 95.300903°		 ← 228.59 m →
52 256 m²		 S 68.024022°
E 95.306397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764732360839844 y=0.760856628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764732360839844 × 216)
    floor (0.764732360839844 × 65536)
    floor (50117.5)     		tx = 50117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760856628417969 × 216)
    floor (0.760856628417969 × 65536)
    floor (49863.5)     		ty = 49863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50117 / 49863 ti = "16/50117/49863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50117/49863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50117 ÷ 216
    50117 ÷ 65536     		x = 0.764724731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49863 ÷ 216
    49863 ÷ 65536     		y = 0.760848999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764724731445312 × 2 - 1) × π
    0.529449462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66331454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760848999023438 × 2 - 1) × π
    -0.521697998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63896259800972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66331454} λ = 1.66331454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63896259800972))-π/2
    2×atan(0.194181381989884)-π/2
    2×0.191794525985575-π/2
    0.38358905197115-1.57079632675     		φ = -1.18720727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66331454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.300903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18720727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.021966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50117 KachelY 49863 1.66331454 -1.18720727 95.300903 -68.021966
    Oben rechts KachelX + 1 50118 KachelY 49863 1.66341042 -1.18720727 95.306397 -68.021966
    Unten links KachelX 50117 KachelY + 1 49864 1.66331454 -1.18724315 95.300903 -68.024022
    Unten rechts KachelX + 1 50118 KachelY + 1 49864 1.66341042 -1.18724315 95.306397 -68.024022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18720727--1.18724315) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18720727--1.18724315) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66331454-1.66341042) × cos(-1.18720727) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.374251103406165 × 6371000     		do = 228.611840407139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66331454-1.66341042) × cos(-1.18724315) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.374217830658067 × 6371000     		du = 228.59151569972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18720727)-sin(-1.18724315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374251103406165-0.374217830658067)×R²
    abs(1.66341042-1.66331454)×3.32727480985562e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.32727480985562e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.32727480985562e-05×40589641000000     		ar = 52256.3959222058m²