Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50116 / 58189
↖ ↑ ↗
← N 19.774457°
W 42.352295°		 ← 287.36 m → N 19.774457°
W 42.349549°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.771873°
W 42.352295°		 ← 287.36 m →
82 585 m²		 N 19.771873°
W 42.349549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382358551025391 y=0.443950653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382358551025391 × 217)
    floor (0.382358551025391 × 131072)
    floor (50116.5)     		tx = 50116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443950653076172 × 217)
    floor (0.443950653076172 × 131072)
    floor (58189.5)     		ty = 58189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50116 / 58189 ti = "17/50116/58189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50116/58189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50116 ÷ 217
    50116 ÷ 131072     		x = 0.382354736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58189 ÷ 217
    58189 ÷ 131072     		y = 0.443946838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382354736328125 × 2 - 1) × π
    -0.23529052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73918699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443946838378906 × 2 - 1) × π
    0.112106323242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.352192401508553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73918699} λ = -0.73918699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352192401508553))-π/2
    2×atan(1.4221821273836)-π/2
    2×0.957962859872274-π/2
    1.91592571974455-1.57079632675     		φ = 0.34512939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73918699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.352295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34512939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.774457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50116 KachelY 58189 -0.73918699 0.34512939 -42.352295 19.774457
    Oben rechts KachelX + 1 50117 KachelY 58189 -0.73913906 0.34512939 -42.349549 19.774457
    Unten links KachelX 50116 KachelY + 1 58190 -0.73918699 0.34508428 -42.352295 19.771873
    Unten rechts KachelX + 1 50117 KachelY + 1 58190 -0.73913906 0.34508428 -42.349549 19.771873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34512939-0.34508428) × R
    4.51099999999593e-05 × 6371000     		dl = 287.395809999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34512939-0.34508428) × R
    4.51099999999593e-05 × 6371000     		dr = 287.395809999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73918699--0.73913906) × cos(0.34512939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941031685460931 × 6371000     		do = 287.355345766847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73918699--0.73913906) × cos(0.34508428) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941046946048303 × 6371000     		du = 287.360005770786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34512939)-sin(0.34508428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941031685460931-0.941046946048303)×R²
    abs(-0.73913906--0.73918699)×1.52605873724454e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52605873724454e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52605873724454e-05×40589641000000     		ar = 82585.3920011839m²