Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50116 / 49599
↖ ↑ ↗
← S 67.472818°
E 95.295410°		 ← 234.01 m → S 67.472818°
E 95.300903°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
S 67.474922°
E 95.295410°		 ← 233.99 m →
54 757 m²		 S 67.474922°
E 95.300903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764717102050781 y=0.756828308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764717102050781 × 216)
    floor (0.764717102050781 × 65536)
    floor (50116.5)     		tx = 50116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756828308105469 × 216)
    floor (0.756828308105469 × 65536)
    floor (49599.5)     		ty = 49599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50116 / 49599 ti = "16/50116/49599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50116/49599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50116 ÷ 216
    50116 ÷ 65536     		x = 0.76470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49599 ÷ 216
    49599 ÷ 65536     		y = 0.756820678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76470947265625 × 2 - 1) × π
    0.5294189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66321867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756820678710938 × 2 - 1) × π
    -0.513641357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61365191501033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66321867} λ = 1.66321867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61365191501033))-π/2
    2×atan(0.199158972774768)-π/2
    2×0.196586749188153-π/2
    0.393173498376307-1.57079632675     		φ = -1.17762283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66321867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.295410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17762283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.472818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50116 KachelY 49599 1.66321867 -1.17762283 95.295410 -67.472818
    Oben rechts KachelX + 1 50117 KachelY 49599 1.66331454 -1.17762283 95.300903 -67.472818
    Unten links KachelX 50116 KachelY + 1 49600 1.66321867 -1.17765956 95.295410 -67.474922
    Unten rechts KachelX + 1 50117 KachelY + 1 49600 1.66331454 -1.17765956 95.300903 -67.474922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17762283--1.17765956) × R
    3.67299999999293e-05 × 6371000     		dl = 234.00682999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17762283--1.17765956) × R
    3.67299999999293e-05 × 6371000     		dr = 234.00682999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66321867-1.66331454) × cos(-1.17762283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383121691680698 × 6371000     		do = 234.006043700276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66321867-1.66331454) × cos(-1.17765956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383087763999222 × 6371000     		du = 233.985321087366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17762283)-sin(-1.17765956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383121691680698-0.383087763999222)×R²
    abs(1.66331454-1.66321867)×3.39276814755318e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39276814755318e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39276814755318e-05×40589641000000     		ar = 54756.5878766716m²