Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50115 / 49857
↖ ↑ ↗
← S 68.009628°
E 95.289917°		 ← 228.71 m → S 68.009628°
E 95.295410°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
S 68.011685°
E 95.289917°		 ← 228.69 m →
52 308 m²		 S 68.011685°
E 95.295410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764701843261719 y=0.760765075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764701843261719 × 216)
    floor (0.764701843261719 × 65536)
    floor (50115.5)     		tx = 50115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760765075683594 × 216)
    floor (0.760765075683594 × 65536)
    floor (49857.5)     		ty = 49857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50115 / 49857 ti = "16/50115/49857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50115/49857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50115 ÷ 216
    50115 ÷ 65536     		x = 0.764694213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49857 ÷ 216
    49857 ÷ 65536     		y = 0.760757446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764694213867188 × 2 - 1) × π
    0.529388427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66312280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760757446289062 × 2 - 1) × π
    -0.521514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63838735521428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66312280} λ = 1.66312280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63838735521428))-π/2
    2×atan(0.194293115564769)-π/2
    2×0.191902197324377-π/2
    0.383804394648755-1.57079632675     		φ = -1.18699193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66312280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.289917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18699193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.009628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50115 KachelY 49857 1.66312280 -1.18699193 95.289917 -68.009628
    Oben rechts KachelX + 1 50116 KachelY 49857 1.66321867 -1.18699193 95.295410 -68.009628
    Unten links KachelX 50115 KachelY + 1 49858 1.66312280 -1.18702783 95.289917 -68.011685
    Unten rechts KachelX + 1 50116 KachelY + 1 49858 1.66321867 -1.18702783 95.295410 -68.011685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18699193--1.18702783) × R
    3.58999999998666e-05 × 6371000     		dl = 228.71889999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18699193--1.18702783) × R
    3.58999999998666e-05 × 6371000     		dr = 228.71889999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66312280-1.66321867) × cos(-1.18699193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374450785410238 × 6371000     		do = 228.709960195463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66312280-1.66321867) × cos(-1.18702783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374417497009192 × 6371000     		du = 228.689628047221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18699193)-sin(-1.18702783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374450785410238-0.374417497009192)×R²
    abs(1.66321867-1.66312280)×3.32884010466605e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32884010466605e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32884010466605e-05×40589641000000     		ar = 52307.9653469439m²