Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50114 / 50997
↖ ↑ ↗
← S 70.239032°
E 95.284424°		 ← 206.53 m → S 70.239032°
E 95.289917°		 →
↑
206.55 m
↓
↑
206.55 m
↓
S 70.240890°
E 95.284424°		 ← 206.51 m →
42 656 m²		 S 70.240890°
E 95.289917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764686584472656 y=0.778160095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764686584472656 × 216)
    floor (0.764686584472656 × 65536)
    floor (50114.5)     		tx = 50114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778160095214844 × 216)
    floor (0.778160095214844 × 65536)
    floor (50997.5)     		ty = 50997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50114 / 50997 ti = "16/50114/50997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50114/50997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50114 ÷ 216
    50114 ÷ 65536     		x = 0.764678955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50997 ÷ 216
    50997 ÷ 65536     		y = 0.778152465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764678955078125 × 2 - 1) × π
    0.52935791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66302692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778152465820312 × 2 - 1) × π
    -0.556304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74768348634801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66302692} λ = 1.66302692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74768348634801))-π/2
    2×atan(0.174176959778999)-π/2
    2×0.172446971404537-π/2
    0.344893942809074-1.57079632675     		φ = -1.22590238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66302692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.284424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22590238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.239032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50114 KachelY 50997 1.66302692 -1.22590238 95.284424 -70.239032
    Oben rechts KachelX + 1 50115 KachelY 50997 1.66312280 -1.22590238 95.289917 -70.239032
    Unten links KachelX 50114 KachelY + 1 50998 1.66302692 -1.22593480 95.284424 -70.240890
    Unten rechts KachelX + 1 50115 KachelY + 1 50998 1.66312280 -1.22593480 95.289917 -70.240890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22590238--1.22593480) × R
    3.2420000000144e-05 × 6371000     		dl = 206.547820000917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22590238--1.22593480) × R
    3.2420000000144e-05 × 6371000     		dr = 206.547820000917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66302692-1.66312280) × cos(-1.22590238) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.338096871278089 × 6371000     		do = 206.526974203454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66302692-1.66312280) × cos(-1.22593480) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.338066360271609 × 6371000     		du = 206.50833650999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22590238)-sin(-1.22593480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338096871278089-0.338066360271609)×R²
    abs(1.66312280-1.66302692)×3.05110064791614e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.05110064791614e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.05110064791614e-05×40589641000000     		ar = 42655.7715091686m²