Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50114 / 48705
↖ ↑ ↗
← S 65.515240°
E 95.284424°		 ← 253.17 m → S 65.515240°
E 95.289917°		 →
↑
253.12 m
↓
↑
253.12 m
↓
S 65.517516°
E 95.284424°		 ← 253.15 m →
64 079 m²		 S 65.517516°
E 95.289917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764686584472656 y=0.743186950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764686584472656 × 216)
    floor (0.764686584472656 × 65536)
    floor (50114.5)     		tx = 50114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743186950683594 × 216)
    floor (0.743186950683594 × 65536)
    floor (48705.5)     		ty = 48705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50114 / 48705 ti = "16/50114/48705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50114/48705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50114 ÷ 216
    50114 ÷ 65536     		x = 0.764678955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48705 ÷ 216
    48705 ÷ 65536     		y = 0.743179321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764678955078125 × 2 - 1) × π
    0.52935791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66302692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743179321289062 × 2 - 1) × π
    -0.486358642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52794073848967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66302692} λ = 1.66302692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52794073848967))-π/2
    2×atan(0.216982030312658)-π/2
    2×0.213669845388785-π/2
    0.42733969077757-1.57079632675     		φ = -1.14345664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66302692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.284424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14345664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.515240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50114 KachelY 48705 1.66302692 -1.14345664 95.284424 -65.515240
    Oben rechts KachelX + 1 50115 KachelY 48705 1.66312280 -1.14345664 95.289917 -65.515240
    Unten links KachelX 50114 KachelY + 1 48706 1.66302692 -1.14349637 95.284424 -65.517516
    Unten rechts KachelX + 1 50115 KachelY + 1 48706 1.66312280 -1.14349637 95.289917 -65.517516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14345664--1.14349637) × R
    3.97300000001266e-05 × 6371000     		dl = 253.119830000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14345664--1.14349637) × R
    3.97300000001266e-05 × 6371000     		dr = 253.119830000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66302692-1.66312280) × cos(-1.14345664) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414451196542678 × 6371000     		do = 253.1681267957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66302692-1.66312280) × cos(-1.14349637) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414415039073352 × 6371000     		du = 253.146039952049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14345664)-sin(-1.14349637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414451196542678-0.414415039073352)×R²
    abs(1.66312280-1.66302692)×3.61574693260036e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.61574693260036e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.61574693260036e-05×40589641000000     		ar = 64079.0779152941m²