Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50112 / 51004
↖ ↑ ↗
← S 70.252029°
E 95.273437°		 ← 206.40 m → S 70.252029°
E 95.278931°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
S 70.253885°
E 95.273437°		 ← 206.38 m →
42 603 m²		 S 70.253885°
E 95.278931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764656066894531 y=0.778266906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764656066894531 × 216)
    floor (0.764656066894531 × 65536)
    floor (50112.5)     		tx = 50112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778266906738281 × 216)
    floor (0.778266906738281 × 65536)
    floor (51004.5)     		ty = 51004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50112 / 51004 ti = "16/50112/51004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50112/51004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50112 ÷ 216
    50112 ÷ 65536     		x = 0.7646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51004 ÷ 216
    51004 ÷ 65536     		y = 0.77825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    0.529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66283517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.5565185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74835460294269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66283517} λ = 1.66283517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74835460294269))-π/2
    2×atan(0.174060105946539)-π/2
    2×0.172333556016397-π/2
    0.344667112032794-1.57079632675     		φ = -1.22612921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66283517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22612921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.252029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50112 KachelY 51004 1.66283517 -1.22612921 95.273437 -70.252029
    Oben rechts KachelX + 1 50113 KachelY 51004 1.66293105 -1.22612921 95.278931 -70.252029
    Unten links KachelX 50112 KachelY + 1 51005 1.66283517 -1.22616161 95.273437 -70.253885
    Unten rechts KachelX + 1 50113 KachelY + 1 51005 1.66293105 -1.22616161 95.278931 -70.253885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22612921--1.22616161) × R
    3.23999999998215e-05 × 6371000     		dl = 206.420399998863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22612921--1.22616161) × R
    3.23999999998215e-05 × 6371000     		dr = 206.420399998863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66283517-1.66293105) × cos(-1.22612921) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.337883390302675 × 6371000     		do = 206.396569034149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66283517-1.66293105) × cos(-1.22616161) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.337852895634765 × 6371000     		du = 206.377941321124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22612921)-sin(-1.22616161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337883390302675-0.337852895634765)×R²
    abs(1.66293105-1.66283517)×3.0494667909553e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.0494667909553e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.0494667909553e-05×40589641000000     		ar = 42602.5397722241m²