Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50111 / 58175
↖ ↑ ↗
← N 19.810638°
W 42.366028°		 ← 287.35 m → N 19.810638°
W 42.363281°		 →
↑
287.33 m
↓
↑
287.33 m
↓
N 19.808054°
W 42.366028°		 ← 287.35 m →
82 566 m²		 N 19.808054°
W 42.363281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382320404052734 y=0.443843841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382320404052734 × 217)
    floor (0.382320404052734 × 131072)
    floor (50111.5)     		tx = 50111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443843841552734 × 217)
    floor (0.443843841552734 × 131072)
    floor (58175.5)     		ty = 58175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50111 / 58175 ti = "17/50111/58175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50111/58175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50111 ÷ 217
    50111 ÷ 131072     		x = 0.382316589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58175 ÷ 217
    58175 ÷ 131072     		y = 0.443840026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382316589355469 × 2 - 1) × π
    -0.235366821289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.73942668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443840026855469 × 2 - 1) × π
    0.112319946289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.352863518103233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73942668} λ = -0.73942668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352863518103233))-π/2
    2×atan(1.42313689775523)-π/2
    2×0.958278594995706-π/2
    1.91655718999141-1.57079632675     		φ = 0.34576086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73942668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.366028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34576086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.810638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50111 KachelY 58175 -0.73942668 0.34576086 -42.366028 19.810638
    Oben rechts KachelX + 1 50112 KachelY 58175 -0.73937874 0.34576086 -42.363281 19.810638
    Unten links KachelX 50111 KachelY + 1 58176 -0.73942668 0.34571576 -42.366028 19.808054
    Unten rechts KachelX + 1 50112 KachelY + 1 58176 -0.73937874 0.34571576 -42.363281 19.808054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34576086-0.34571576) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dl = 287.332100000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34576086-0.34571576) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dr = 287.332100000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73942668--0.73937874) × cos(0.34576086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940817859909477 × 6371000     		do = 287.34999106788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73942668--0.73937874) × cos(0.34571576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940833143911184 × 6371000     		du = 287.354659195411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34576086)-sin(0.34571576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940817859909477-0.940833143911184)×R²
    abs(-0.73937874--0.73942668)×1.52840017069167e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52840017069167e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52840017069167e-05×40589641000000     		ar = 82565.5470339733m²