Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50111 / 49861
↖ ↑ ↗
← S 68.017854°
E 95.267944°		 ← 228.63 m → S 68.017854°
E 95.273437°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
S 68.019910°
E 95.267944°		 ← 228.61 m →
52 260 m²		 S 68.019910°
E 95.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764640808105469 y=0.760826110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764640808105469 × 216)
    floor (0.764640808105469 × 65536)
    floor (50111.5)     		tx = 50111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760826110839844 × 216)
    floor (0.760826110839844 × 65536)
    floor (49861.5)     		ty = 49861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50111 / 49861 ti = "16/50111/49861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50111/49861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50111 ÷ 216
    50111 ÷ 65536     		x = 0.764633178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49861 ÷ 216
    49861 ÷ 65536     		y = 0.760818481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764633178710938 × 2 - 1) × π
    0.529266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66273930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760818481445312 × 2 - 1) × π
    -0.521636962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63877085041124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66273930} λ = 1.66273930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63877085041124))-π/2
    2×atan(0.194218619373526)-π/2
    2×0.191830410050497-π/2
    0.383660820100995-1.57079632675     		φ = -1.18713551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66273930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.267944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18713551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.017854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50111 KachelY 49861 1.66273930 -1.18713551 95.267944 -68.017854
    Oben rechts KachelX + 1 50112 KachelY 49861 1.66283517 -1.18713551 95.273437 -68.017854
    Unten links KachelX 50111 KachelY + 1 49862 1.66273930 -1.18717139 95.267944 -68.019910
    Unten rechts KachelX + 1 50112 KachelY + 1 49862 1.66283517 -1.18717139 95.273437 -68.019910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18713551--1.18717139) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18713551--1.18717139) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66273930-1.66283517) × cos(-1.18713551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374317647456916 × 6371000     		do = 228.628641161851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66273930-1.66283517) × cos(-1.18717139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374284375672462 × 6371000     		du = 228.608319162821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18713551)-sin(-1.18717139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374317647456916-0.374284375672462)×R²
    abs(1.66283517-1.66273930)×3.3271784453115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3271784453115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3271784453115e-05×40589641000000     		ar = 52260.2367413513m²