Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50110 / 48870
↖ ↑ ↗
← S 65.888193°
E 95.262451°		 ← 249.52 m → S 65.888193°
E 95.267944°		 →
↑
249.49 m
↓
↑
249.49 m
↓
S 65.890436°
E 95.262451°		 ← 249.50 m →
62 249 m²		 S 65.890436°
E 95.267944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764625549316406 y=0.745704650878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764625549316406 × 216)
    floor (0.764625549316406 × 65536)
    floor (50110.5)     		tx = 50110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745704650878906 × 216)
    floor (0.745704650878906 × 65536)
    floor (48870.5)     		ty = 48870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50110 / 48870 ti = "16/50110/48870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50110/48870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50110 ÷ 216
    50110 ÷ 65536     		x = 0.764617919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48870 ÷ 216
    48870 ÷ 65536     		y = 0.745697021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764617919921875 × 2 - 1) × π
    0.52923583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66264343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745697021484375 × 2 - 1) × π
    -0.49139404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54375991536429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66264343} λ = 1.66264343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54375991536429))-π/2
    2×atan(0.213576560081407)-π/2
    2×0.21041521419758-π/2
    0.42083042839516-1.57079632675     		φ = -1.14996590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66264343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.262451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14996590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.888193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50110 KachelY 48870 1.66264343 -1.14996590 95.262451 -65.888193
    Oben rechts KachelX + 1 50111 KachelY 48870 1.66273930 -1.14996590 95.267944 -65.888193
    Unten links KachelX 50110 KachelY + 1 48871 1.66264343 -1.15000506 95.262451 -65.890436
    Unten rechts KachelX + 1 50111 KachelY + 1 48871 1.66273930 -1.15000506 95.267944 -65.890436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14996590--1.15000506) × R
    3.91600000000381e-05 × 6371000     		dl = 249.488360000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14996590--1.15000506) × R
    3.91600000000381e-05 × 6371000     		dr = 249.488360000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66264343-1.66273930) × cos(-1.14996590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408518565897018 × 6371000     		do = 249.518143867832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66264343-1.66273930) × cos(-1.15000506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40848282229339 × 6371000     		du = 249.496312111881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14996590)-sin(-1.15000506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408518565897018-0.40848282229339)×R²
    abs(1.66273930-1.66264343)×3.57436036272918e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57436036272918e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57436036272918e-05×40589641000000     		ar = 62249.1491272021m²