Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50110 / 48718
↖ ↑ ↗
← S 65.544819°
E 95.262451°		 ← 252.85 m → S 65.544819°
E 95.267944°		 →
↑
252.86 m
↓
↑
252.86 m
↓
S 65.547093°
E 95.262451°		 ← 252.83 m →
63 935 m²		 S 65.547093°
E 95.267944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764625549316406 y=0.743385314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764625549316406 × 216)
    floor (0.764625549316406 × 65536)
    floor (50110.5)     		tx = 50110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743385314941406 × 216)
    floor (0.743385314941406 × 65536)
    floor (48718.5)     		ty = 48718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50110 / 48718 ti = "16/50110/48718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50110/48718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50110 ÷ 216
    50110 ÷ 65536     		x = 0.764617919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48718 ÷ 216
    48718 ÷ 65536     		y = 0.743377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764617919921875 × 2 - 1) × π
    0.52923583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66264343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743377685546875 × 2 - 1) × π
    -0.48675537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52918709787979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66264343} λ = 1.66264343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52918709787979))-π/2
    2×atan(0.216711761182911)-π/2
    2×0.213411714251403-π/2
    0.426823428502806-1.57079632675     		φ = -1.14397290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66264343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.262451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14397290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.544819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50110 KachelY 48718 1.66264343 -1.14397290 95.262451 -65.544819
    Oben rechts KachelX + 1 50111 KachelY 48718 1.66273930 -1.14397290 95.267944 -65.544819
    Unten links KachelX 50110 KachelY + 1 48719 1.66264343 -1.14401259 95.262451 -65.547093
    Unten rechts KachelX + 1 50111 KachelY + 1 48719 1.66273930 -1.14401259 95.267944 -65.547093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14397290--1.14401259) × R
    3.96899999999256e-05 × 6371000     		dl = 252.864989999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14397290--1.14401259) × R
    3.96899999999256e-05 × 6371000     		dr = 252.864989999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66264343-1.66273930) × cos(-1.14397290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413981307800267 × 6371000     		do = 252.854719813003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66264343-1.66273930) × cos(-1.14401259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413945178247391 × 6371000     		du = 252.832652323971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14397290)-sin(-1.14401259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413981307800267-0.413945178247391)×R²
    abs(1.66273930-1.66264343)×3.61295528760186e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61295528760186e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61295528760186e-05×40589641000000     		ar = 63935.3161575578m²