Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5011 / 7127
↖ ↑ ↗
← N 70.761586°
W124.947510°		 ← 402.53 m → N 70.761586°
W124.936523°		 →
↑
402.58 m
↓
↑
402.58 m
↓
N 70.757966°
W124.947510°		 ← 402.60 m →
162 067 m²		 N 70.757966°
W124.936523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152938842773438 y=0.217514038085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152938842773438 × 215)
    floor (0.152938842773438 × 32768)
    floor (5011.5)     		tx = 5011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217514038085938 × 215)
    floor (0.217514038085938 × 32768)
    floor (7127.5)     		ty = 7127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5011 / 7127 ti = "15/5011/7127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5011/7127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5011 ÷ 215
    5011 ÷ 32768     		x = 0.152923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7127 ÷ 215
    7127 ÷ 32768     		y = 0.217498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.69415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.18074544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217498779296875 × 2 - 1) × π
    0.56500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77500751913144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18074544} λ = -2.18074544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77500751913144))-π/2
    2×atan(5.9003255014752)-π/2
    2×1.40290949273804-π/2
    2.80581898547607-1.57079632675     		φ = 1.23502266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18074544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.947510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23502266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.761586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5011 KachelY 7127 -2.18074544 1.23502266 -124.947510 70.761586
    Oben rechts KachelX + 1 5012 KachelY 7127 -2.18055369 1.23502266 -124.936523 70.761586
    Unten links KachelX 5011 KachelY + 1 7128 -2.18074544 1.23495947 -124.947510 70.757966
    Unten rechts KachelX + 1 5012 KachelY + 1 7128 -2.18055369 1.23495947 -124.936523 70.757966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23502266-1.23495947) × R
    6.31900000001018e-05 × 6371000     		dl = 402.583490000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23502266-1.23495947) × R
    6.31900000001018e-05 × 6371000     		dr = 402.583490000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18074544--2.18055369) × cos(1.23502266) × R
    0.000191749999999935 × 0.32949973030425 × 6371000     		do = 402.52980340395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18074544--2.18055369) × cos(1.23495947) × R
    0.000191749999999935 × 0.329559390843107 × 6371000     		du = 402.602687059893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23502266)-sin(1.23495947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32949973030425-0.329559390843107)×R²
    abs(-2.18055369--2.18074544)×5.96605388564209e-05×R²
    0.000191749999999935×5.96605388564209e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.96605388564209e-05×40589641000000     		ar = 162066.5240157m²