Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50108 / 48698
↖ ↑ ↗
← S 65.499298°
E 95.251465°		 ← 253.30 m → S 65.499298°
E 95.256958°		 →
↑
253.25 m
↓
↑
253.25 m
↓
S 65.501576°
E 95.251465°		 ← 253.27 m →
64 144 m²		 S 65.501576°
E 95.256958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764595031738281 y=0.743080139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764595031738281 × 216)
    floor (0.764595031738281 × 65536)
    floor (50108.5)     		tx = 50108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743080139160156 × 216)
    floor (0.743080139160156 × 65536)
    floor (48698.5)     		ty = 48698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50108 / 48698 ti = "16/50108/48698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50108/48698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50108 ÷ 216
    50108 ÷ 65536     		x = 0.76458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48698 ÷ 216
    48698 ÷ 65536     		y = 0.743072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76458740234375 × 2 - 1) × π
    0.5291748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66245168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.48614501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52726962189499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66245168} λ = 1.66245168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52726962189499))-π/2
    2×atan(0.217127699428962)-π/2
    2×0.213808960404955-π/2
    0.42761792080991-1.57079632675     		φ = -1.14317841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66245168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.251465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14317841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.499298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50108 KachelY 48698 1.66245168 -1.14317841 95.251465 -65.499298
    Oben rechts KachelX + 1 50109 KachelY 48698 1.66254755 -1.14317841 95.256958 -65.499298
    Unten links KachelX 50108 KachelY + 1 48699 1.66245168 -1.14321816 95.251465 -65.501576
    Unten rechts KachelX + 1 50109 KachelY + 1 48699 1.66254755 -1.14321816 95.256958 -65.501576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14317841--1.14321816) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dl = 253.247250000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14317841--1.14321816) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dr = 253.247250000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66245168-1.66254755) × cos(-1.14317841) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41470438970191 × 6371000     		do = 253.296369395235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66245168-1.66254755) × cos(-1.14321816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414668218615706 × 6371000     		du = 253.274276538154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14317841)-sin(-1.14321816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41470438970191-0.414668218615706)×R²
    abs(1.66254755-1.66245168)×3.61710862039066e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61710862039066e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61710862039066e-05×40589641000000     		ar = 64143.8115151545m²