Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50107 / 48873
↖ ↑ ↗
← S 65.894924°
E 95.245972°		 ← 249.45 m → S 65.894924°
E 95.251465°		 →
↑
249.49 m
↓
↑
249.49 m
↓
S 65.897167°
E 95.245972°		 ← 249.43 m →
62 233 m²		 S 65.897167°
E 95.251465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764579772949219 y=0.745750427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764579772949219 × 216)
    floor (0.764579772949219 × 65536)
    floor (50107.5)     		tx = 50107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745750427246094 × 216)
    floor (0.745750427246094 × 65536)
    floor (48873.5)     		ty = 48873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50107 / 48873 ti = "16/50107/48873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50107/48873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50107 ÷ 216
    50107 ÷ 65536     		x = 0.764572143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48873 ÷ 216
    48873 ÷ 65536     		y = 0.745742797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764572143554688 × 2 - 1) × π
    0.529144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66235581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745742797851562 × 2 - 1) × π
    -0.491485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54404753676201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66235581} λ = 1.66235581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54404753676201))-π/2
    2×atan(0.213515139726004)-π/2
    2×0.210356472567998-π/2
    0.420712945135997-1.57079632675     		φ = -1.15008338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66235581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.245972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15008338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.894924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50107 KachelY 48873 1.66235581 -1.15008338 95.245972 -65.894924
    Oben rechts KachelX + 1 50108 KachelY 48873 1.66245168 -1.15008338 95.251465 -65.894924
    Unten links KachelX 50107 KachelY + 1 48874 1.66235581 -1.15012254 95.245972 -65.897167
    Unten rechts KachelX + 1 50108 KachelY + 1 48874 1.66245168 -1.15012254 95.251465 -65.897167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15008338--1.15012254) × R
    3.9159999999816e-05 × 6371000     		dl = 249.488359998828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15008338--1.15012254) × R
    3.9159999999816e-05 × 6371000     		dr = 249.488359998828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66235581-1.66245168) × cos(-1.15008338) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408411333206958 × 6371000     		do = 249.4526474522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66235581-1.66245168) × cos(-1.15012254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408375587724264 × 6371000     		du = 249.430814548537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15008338)-sin(-1.15012254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408411333206958-0.408375587724264)×R²
    abs(1.66245168-1.66235581)×3.5745482694749e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5745482694749e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5745482694749e-05×40589641000000     		ar = 62232.8083902866m²