Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50107 / 48706
↖ ↑ ↗
← S 65.517516°
E 95.245972°		 ← 253.12 m → S 65.517516°
E 95.251465°		 →
↑
253.12 m
↓
↑
253.12 m
↓
S 65.519792°
E 95.245972°		 ← 253.10 m →
64 067 m²		 S 65.519792°
E 95.251465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764579772949219 y=0.743202209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764579772949219 × 216)
    floor (0.764579772949219 × 65536)
    floor (50107.5)     		tx = 50107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743202209472656 × 216)
    floor (0.743202209472656 × 65536)
    floor (48706.5)     		ty = 48706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50107 / 48706 ti = "16/50107/48706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50107/48706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50107 ÷ 216
    50107 ÷ 65536     		x = 0.764572143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48706 ÷ 216
    48706 ÷ 65536     		y = 0.743194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764572143554688 × 2 - 1) × π
    0.529144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66235581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.48638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52803661228891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66235581} λ = 1.66235581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52803661228891))-π/2
    2×atan(0.21696122841824)-π/2
    2×0.213649978749925-π/2
    0.42729995749985-1.57079632675     		φ = -1.14349637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66235581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.245972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14349637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.517516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50107 KachelY 48706 1.66235581 -1.14349637 95.245972 -65.517516
    Oben rechts KachelX + 1 50108 KachelY 48706 1.66245168 -1.14349637 95.251465 -65.517516
    Unten links KachelX 50107 KachelY + 1 48707 1.66235581 -1.14353610 95.245972 -65.519792
    Unten rechts KachelX + 1 50108 KachelY + 1 48707 1.66245168 -1.14353610 95.251465 -65.519792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14349637--1.14353610) × R
    3.97299999999046e-05 × 6371000     		dl = 253.119829999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14349637--1.14353610) × R
    3.97299999999046e-05 × 6371000     		dr = 253.119829999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66235581-1.66245168) × cos(-1.14349637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414415039073352 × 6371000     		do = 253.11963757007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66235581-1.66245168) × cos(-1.14353610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414378880949883 × 6371000     		du = 253.097552630469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14349637)-sin(-1.14353610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414415039073352-0.414378880949883)×R²
    abs(1.66245168-1.66235581)×3.61581234687436e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61581234687436e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61581234687436e-05×40589641000000     		ar = 64066.8045718691m²