Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50106 / 58186
↖ ↑ ↗
← N 19.782211°
W 42.379761°		 ← 287.40 m → N 19.782211°
W 42.377014°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.779627°
W 42.379761°		 ← 287.41 m →
82 599 m²		 N 19.779627°
W 42.377014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382282257080078 y=0.443927764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382282257080078 × 217)
    floor (0.382282257080078 × 131072)
    floor (50106.5)     		tx = 50106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443927764892578 × 217)
    floor (0.443927764892578 × 131072)
    floor (58186.5)     		ty = 58186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50106 / 58186 ti = "17/50106/58186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50106/58186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50106 ÷ 217
    50106 ÷ 131072     		x = 0.382278442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58186 ÷ 217
    58186 ÷ 131072     		y = 0.443923950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382278442382812 × 2 - 1) × π
    -0.235443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73966636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443923950195312 × 2 - 1) × π
    0.112152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.352336212207413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73966636} λ = -0.73966636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352336212207413))-π/2
    2×atan(1.42238666709639)-π/2
    2×0.958030523438105-π/2
    1.91606104687621-1.57079632675     		φ = 0.34526472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73966636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.379761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34526472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.782211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50106 KachelY 58186 -0.73966636 0.34526472 -42.379761 19.782211
    Oben rechts KachelX + 1 50107 KachelY 58186 -0.73961842 0.34526472 -42.377014 19.782211
    Unten links KachelX 50106 KachelY + 1 58187 -0.73966636 0.34521961 -42.379761 19.779627
    Unten rechts KachelX + 1 50107 KachelY + 1 58187 -0.73961842 0.34521961 -42.377014 19.779627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34526472-0.34521961) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dl = 287.395810000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34526472-0.34521961) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dr = 287.395810000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73966636--0.73961842) × cos(0.34526472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940985892209437 × 6371000     		do = 287.401312457439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73966636--0.73961842) × cos(0.34521961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941001158541466 × 6371000     		du = 287.405975188196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34526472)-sin(0.34521961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940985892209437-0.941001158541466)×R²
    abs(-0.73961842--0.73966636)×1.52663320296398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52663320296398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52663320296398e-05×40589641000000     		ar = 82598.6030273754m²