Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50106 / 58179
↖ ↑ ↗
← N 19.800302°
W 42.379761°		 ← 287.37 m → N 19.800302°
W 42.377014°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.797717°
W 42.379761°		 ← 287.37 m →
82 589 m²		 N 19.797717°
W 42.377014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382282257080078 y=0.443874359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382282257080078 × 217)
    floor (0.382282257080078 × 131072)
    floor (50106.5)     		tx = 50106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443874359130859 × 217)
    floor (0.443874359130859 × 131072)
    floor (58179.5)     		ty = 58179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50106 / 58179 ti = "17/50106/58179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50106/58179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50106 ÷ 217
    50106 ÷ 131072     		x = 0.382278442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58179 ÷ 217
    58179 ÷ 131072     		y = 0.443870544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382278442382812 × 2 - 1) × π
    -0.235443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73966636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443870544433594 × 2 - 1) × π
    0.112258911132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.352671770504753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73966636} λ = -0.73966636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352671770504753))-π/2
    2×atan(1.42286404083344)-π/2
    2×0.958188392282766-π/2
    1.91637678456553-1.57079632675     		φ = 0.34558046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73966636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.379761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34558046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.800302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50106 KachelY 58179 -0.73966636 0.34558046 -42.379761 19.800302
    Oben rechts KachelX + 1 50107 KachelY 58179 -0.73961842 0.34558046 -42.377014 19.800302
    Unten links KachelX 50106 KachelY + 1 58180 -0.73966636 0.34553535 -42.379761 19.797717
    Unten rechts KachelX + 1 50107 KachelY + 1 58180 -0.73961842 0.34553535 -42.377014 19.797717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34558046-0.34553535) × R
    4.51099999999593e-05 × 6371000     		dl = 287.395809999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34558046-0.34553535) × R
    4.51099999999593e-05 × 6371000     		dr = 287.395809999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73966636--0.73961842) × cos(0.34558046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940878984434196 × 6371000     		do = 287.368660071074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73966636--0.73961842) × cos(0.34553535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940894264168065 × 6371000     		du = 287.373326895098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34558046)-sin(0.34553535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940878984434196-0.940894264168065)×R²
    abs(-0.73961842--0.73966636)×1.52797338687227e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52797338687227e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52797338687227e-05×40589641000000     		ar = 82589.2194564732m²