Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50106 / 49613
↖ ↑ ↗
← S 67.502263°
E 95.240478°		 ← 233.74 m → S 67.502263°
E 95.245972°		 →
↑
233.69 m
↓
↑
233.69 m
↓
S 67.504365°
E 95.240478°		 ← 233.72 m →
54 620 m²		 S 67.504365°
E 95.245972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764564514160156 y=0.757041931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764564514160156 × 216)
    floor (0.764564514160156 × 65536)
    floor (50106.5)     		tx = 50106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757041931152344 × 216)
    floor (0.757041931152344 × 65536)
    floor (49613.5)     		ty = 49613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50106 / 49613 ti = "16/50106/49613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50106/49613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50106 ÷ 216
    50106 ÷ 65536     		x = 0.764556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49613 ÷ 216
    49613 ÷ 65536     		y = 0.757034301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764556884765625 × 2 - 1) × π
    0.52911376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66225993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757034301757812 × 2 - 1) × π
    -0.514068603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61499414819969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66225993} λ = 1.66225993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61499414819969))-π/2
    2×atan(0.198891834312712)-π/2
    2×0.196329789198145-π/2
    0.39265957839629-1.57079632675     		φ = -1.17813675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66225993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.240478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17813675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.502263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50106 KachelY 49613 1.66225993 -1.17813675 95.240478 -67.502263
    Oben rechts KachelX + 1 50107 KachelY 49613 1.66235581 -1.17813675 95.245972 -67.502263
    Unten links KachelX 50106 KachelY + 1 49614 1.66225993 -1.17817343 95.240478 -67.504365
    Unten rechts KachelX + 1 50107 KachelY + 1 49614 1.66235581 -1.17817343 95.245972 -67.504365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17813675--1.17817343) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dl = 233.688280000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17813675--1.17817343) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dr = 233.688280000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66225993-1.66235581) × cos(-1.17813675) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.382646934294404 × 6371000     		do = 233.740446131046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66225993-1.66235581) × cos(-1.17817343) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.382613045581251 × 6371000     		du = 233.719745160462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17813675)-sin(-1.17817343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382646934294404-0.382613045581251)×R²
    abs(1.66235581-1.66225993)×3.38887131529075e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.38887131529075e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.38887131529075e-05×40589641000000     		ar = 54619.9840419626m²